|[pic], |(I.1.11) |
где [pic]27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).
1.2. Основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде
В последнее время наблюдается рост интереса к различным термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их многообразными практическими приложениями[4,5].
Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению баротермического эффекта – изменению температуры при течении нефти или газа в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического эффекта в отличие от эффекта Джоуля – Томсона, наблюдающегося при стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического применения при исследовании скважин и пластов.
В основу исследований положена полная система уравнений для [pic]- той
фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы
является уравнение для температуры [pic] с учетом термодинамических
эффектов высокого порядка [9]
|[pic] |(I.2.1) |
где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение температуры в пласте со временем, второе – за счет конвекции (перемещения больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за теплопроводность, второе – за межфракционный теплообмен, третье описывает адиабатический эффект, четвертое – эффект Джоуля-Томсона и пятое – влияние поля тяготения Земли.
Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое
записывается в виде:
|[pic]. |(I.2.2) |
Фильтрация газа подчиняется закону Дарси
|[pic]. |(I.2.3) |
К системе добавляется уравнение состояния
|[pic]. |(I.2.4) |
Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения
(I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.
1.3. Описание задачи
Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где
среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является
пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения
газа из бесконечности к скважине радиуса [pic], ось которой совпадает с
осью [pic]
[pic]
Рис. 1. постановка задачи
При описании температурной задачи примем следующие допущения:
- пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам;
- давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;
- породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам;
- температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;
- естественное тепловое поле Земли считается стационарным;
- пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта;
- адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.
1.4. Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач.
1.4.1. Математическая постановка температурной задачи
Математическая постановка задачи для всех областей представляется
уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением
Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с
учетом закона фильтрации Дарси:
|[pic]. |(I.4.1.|
| |1) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:
начальном
|[pic], |(I.4.1.|
| |2) |
и граничном
|[pic]. |(I.4.1.|
| |3) |
1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи
Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе
координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения
поле давления является функцией координаты r уравнение можно представить в
виде:
|[pic], |(1.4.2.1|
| |) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC – давление на
границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура
питания
|[pic], |(1.4.2.2|
| |) |
давление поддерживается равным Рс:
|[pic], |(1.4.2.3|
| |) |
Pс – давление на контуре питания.
При значении радиуса, равном радиусу скважины
|[pic], |(1.4.1.3|
| |) |
давление поддерживается равным PW:
|[pic], |(1.4.1.4|
| |) |
где PW – давление в скважине.
1.4. Основные идеи метода характеристик[6]
В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное
дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых
переменных) может быть записано в следующем виде:
|[pic] |(1.4.1)|
где а, b, с, d, e, f, g — заданные непрерывные функции от x и y (или в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых
переменных:
|[pic] |(1.4.2)|
Здесь ( и ( — новые независимые переменные. Функции ( и (, связывающие
новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем
считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать,
что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно
х и у; это надо понимать следующим образом: если функции ( и ( и отображают
некоторую область G плоскости Оху в область G* плоскости O((, то при этом
каждой точке (( ,() области G* соответствует только одна точка области G
(иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями ( и (,
является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы
якобиан преобразования (т. е. определитель [pic]) нигде в области G не
обращался в нуль.
Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные
производные от функции u по х и у через производные от и по ( и (:
|[pic] |(1.4.31) |
|[pic] |(1.4.32) |
Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от
двух переменных (здесь u зависит от ( и (, которые, в свою очередь, зависят
от x и у). Для того чтобы выразить [pic], через производные по ( и (, учтем
формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной
функции:
|[pic] | |
Следовательно,
|[pic] |(1.4.41) |
Аналогично найдем:
|[pic] |(1.4.42) |
|[pic] |(1.4.43) |
Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43)
представляют собой линейные функции относительно частных производных
[pic], [pic] [pic] [pic] [pic] Подставляя u'x, u'y, u'xx,... из этих формул
в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с
неизвестной функцией и и независимыми переменными( и (:
|[pic] |(1.4.5) |
где
|[pic] |(1.4.5’) |
a [pic] — функция, линейная относительно и’( , u’( , u .
Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты
а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное
уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем
сделать замену переменных
|[pic] | |
подобрав функции ( и ( так, чтобы они являлись решениями уравнения:
|[pic] |(1.4.6) |
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.
Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G
удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
|[pic] |(1.4.7) |
было общим интегралом уравнения
|[pic] |(1.4.8) |
в той же области G.
Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения
(1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая
кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).
В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано),
выполняется следующее равенство:
|[pic] | |
действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.
Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
|[pic] | |
обозначим каждое из этих отношений через (; тогда
|[pic] | |
Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8),
получим:
|[pic] | |
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по
условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во
всех точках нашей кривой имеет место равенство
|[pic] | |
откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения
(1.4.8).
Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x0,y0).
Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).
Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку: f(x, у) = k0.
Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду
вдоль этой кривой выполняется равенство
|[pic] | |
откуда
|[pic] |(1.4.10) |
Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при
подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:
|[pic] | |
или, после сокращения на (2:
|[pic] | |
В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
|[pic] | |
Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y0) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения
(1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8);
оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1).
Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x
(предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два
уравнения:
|[pic] |(1.4.101|
| |) |
