Геометрична оптика та квантова фізика
ЛЕКЦІЯ 1
ГЕОМЕТРИЧНА ОПТИКА
Щe до встановлення природи світла були відомі наступні основні закони оптики:
1) Закон прямолінійного розповсюдження світла в оптично однорідному середовищі (тінь);
2) Закон незалежності світлових пучків (тільки в лінійній оптиці);
3) Закон відбивання світла;
4) Закон заломлення світла.
Детальніше:
Закон відбивання світла. Відбитий промінь лежить в одній площині з падаючим променем і перпендикуляром, проведеними до межі поділу в точці падіння (рис.1).
Закон заломлення світла. Падаючий та відбитий промені і перпендикуляр, проведений в точку падіння, лежать в одній площині і (рис. 2).
Принцип Ферма. (P.Fermat)
П’єр Ферма встановив принцип, згідно якого:
Коли світловий промінь рухається між будь-якими двома точками, його траєкторія буде такою, яка потребує екстремального часу (мінімального або максимального).
Виведемо за допомогою принципа Ферма закон заломлення.
Нехай світловий промінь повинен пройти від P до Q, де P знаходиться в середовищі 1, а Q - в середовищі 2. Точки P та Q знаходяться на відстанях a та b від межі поділу. Швидкість світла в середовищі 1 є а в середовищі 2 - (рис. 3).
Вивід закону відбивання з принципа Ферма. (рис. 4)
Ми знайдемо екстремальний час, якщо знайдемо, де звертається на нуль перша похідна від t по .
!
Повне відбивання світла, що виходить з води у повітря (рис. 5)
, , - критичний кут.
Всі промені, що падають на межу поділу під кутами, більшими за критичний, відбиваються. Фата-моргана! - це повне відбивання.
Параксіальна оптика (рис.6)
Нехай промінь виходить з точки , що лежить на осі поверхні, зустрічає поверхню в точці , заломлюється і перетинає вісь в точці . В трикутнику , де - центр кривизни поверхні обертання, відношення та складає
(1)
Дійсно, , тоді, поділивши перше на друге, отримаємо (1).
В трикутнику відношення сторін та дорівнює
Дійсно
Звідки маємо
Ми цікавимося лише тими променями, що йдуть поблизу від осі (параксіальні промені), тому
або розділивши на маємо
- інваріант Аббе.
Інваріант Аббе можна переписати у вигляді
- оптична сила заломлюючої поверхні.
Якщо то
Якщо то
Таким чином, фокусами є точки на осі з координатами та .
Тонка лінза (рис. 7)
Рівняння, що визначає координату зображення на оптичній осі з координати предмета, має вигляд
Якщо
то
де
Координати фокусів:
Тобто фокуси знаходяться на однаковій відстані по обидві сторони лінзи, якщо з обох сторін лінзи є одне і те ж середовище.
ЛЕКЦІЯ 2
ГЕОМЕТРИЧНА ОПТИКА (ПРИЛАДИ)
Лінзи (тонкі)
а) подвійно-опукла
- оптична сила тонкої лінзи
З інваріанту Аббе
- по обидві сторони.
.
Таким чином, ми приходимо до відомої зі школи формули.
б) подвійно-ввігнута
- уявні фокуси
Дзеркала
Відбиття можна розглядати як заломлення в середовищі з негативним показником заломлення.
Таким чином можна з формули
отримати формулу для сферичних дзеркал
а) ввігнуте дзеркало:
б) опукле дзеркало:
Побудова зображень виконується згідно встановленого правила, що падаючі промені, паралельні оптичній осі, збираються у фокусі фокусуючої лінзи та розсіюються у розсіюючій так, ніби вони виходять з уявного фокусу.
Тонка призма
Тонка призма будує зображення тому, що вона відхиляє промені, що падають на неї під різними кутами, на один і той же кут (всі кути, в тому числі кут при вершині призми) вважаються малими.
Телескоп
Телескоп Галілея. Кутове збільшення:
Телескоп Кеплера. Кутове збільшення:
Мікроскоп
,
- відстань найкращого зору, см - для нормального ока.
Лупа
Збільшення
.
ЛЕКЦІЯ 3
Інтерференція
Дійсно, при
Штрихова лінія - западина.
Суцільна - горб.
На малюнку між джерелами вміщено 8 півхвиль.
- амплітуда, - початкові фази, - частоти.
Для інтенсивностей окремих хвиль маємо формули
.
Сумарне поле
+
Ясно, що
Величина якщо і може бути відмінною від нуля тільки коли
- кут між та
Додаток може змінюватись від до тому інтенсивність результуючої хвилі
. Якщо , то
Дослід Юнга
Вхідна щілина 0,25 мм. На відстані 1 м дві щілини по 0,1 мм на відстані 0,7 мм між ними. Далі - екран на відстані 5 м. Розрахуємо різницю ходу для променів, що потрапляють на екран в точку спостереження від двох джерел
,
Різниця фаз
Інтенсивність однакова при ,тобто вздовж прямої, // осі . Максимум інтенсивності спостерігається на прямих
а мінімуми на прямих
Це - інтерференційні смуги.
Класичні схеми двопроменевої інтерференції: 1) Дзеркала Френеля (кут дуже малий) 2)Біпризма Френеля 3) Білінза Бійє 4)Дзеркало Ллойда.
Кільця Ньютона
Картина утворюється внаслідок інтерференції променів, відбитих від обох меж тонкого шару між лінзою та тонкою пластинкою.
Оскільки то
Різниця фаз, це (умови відбив.)
max: (n=0,1,2,…) (для )
min:
max:
(max)
Кольори тонких плівок
(Двопроменева інтерференція при відбиванні)
Шлях променя з заломленням і відбиттям є N.(ABC)
Шлях зразу відбитого променя є
;
Для мильної плівки (мильний пухир), маємо повний зсув
.
ЛЕКЦІЯ 4
ДИФРАКЦІЯ
Принцип Гюйгенса: кожна точка, до якої доходить хвиля, є центром вторинних хвильок, а огинаюча цих хвильок дає положення хвильового фронту в наступний момент часу.
Дифракція - всі порушення хвильового фронту. Дифракція відбувається у всіх випадках, коли зміна амплітуди чи фази не однакова по всій поверхні хвильового фронту.
Френель замінив штучну гіпотезу про огинаючу вторичних хвиль положенням, згідно якому вторинні хвилі при накладанні інтерферують між собою. Світло спостерігається там, де при інтерференції вторинні хвилі підсилюють одна одну, а там де вони гасять одна одну, повинна бути темнота. Таким чином, огинаюча - це місце, куди вторинні хвилі приходять в однакових фазах. Якісно зрозуміла відсутність зворотньої хвилі: вторинні хвилі, що йдуть від хвильового джерела вперед, йдуть у вільний від хвиль простір. Вони інтерферують лише між собою. Вторинні хвилі, що йдуть назад, йдуть у просторі, де вже є збурення - пряма хвиля. При інтерференції вторинні хвилі гасять пряму хвилю, так що після проходження хвилі простір за нею залишається незбуреним.
Дифракція: а) Френеля; б) Фраунгофера.
Дифракційне зображення перешкоди - дифракція Френеля.
Дифракційне зображення джерела світла - дифракція Фраунгофера.
Метод зон Френеля
Нехай джерело світла знаходиться на великій відстані від площини LOM, тобто зліва на неї падає плоска хвиля.
Треба розрахувати освітленість в точці Q, а 0 є найближча до неї точка хвильового фронту. Розіб`ємо уявно фронт хвилі на ряд кільцевих зон, обмежених колами. Радіуси кіл вибирають так, щоб
тоді радіус визначається з при умові, що
,
Площа ї кільцевої зони
тобто вона не залежить від а значить всі зони мають однакову площу.
Розрахуємо спочатку амплітуду в точці 0, що створена однією центральною зоною. Для цього поділимо цю зону на ряд дуже малих і рівних між собою елементів поверхні за допомогою системи концентричних кіл. Амплітуди, що створені окремими елементами, будуть однаковими, а фази будуть змінюватись від 0 до
Результуюча амплітуда А буде відрізнятись множником від значення яке було б, якби всі доданки мали однакову фазу. Фаза результуючої хвилі співпадає з фазою хвилі від середньої частини зони, тобто відстає на чверть періода від фази, що приходить від внутрішнього краю зони. Таким чином, фази результуючих хвиль від послідовних зон відрізняються на півперіода.
Сумарна амплітуда
- функція напрямку величина зменшується при збільшенні кута між та
Тому
Оскільки зони компенсують одна одну, то всі вирази в дужках ( ) =0!
Таким чином, збурення, що створюється всією хвилею, дорівнює збуренню, що створили б всі елементи першої зони, якби хвилі, що вони випромінюють, прийшли б в точку спостереження в однаковій фазі, помноженій на тобто на
Результуюче збурення, що створюється плоскою хвилею без обмежень діафрагмами, є
Тому Френель взяв тобто він припустив, що вторинні хвилі випереджають на чверть періода хвилю, що вони замінюють.
Дифракція на осі від круглого отвору і екрану.
Зонна пластинка
Поставимо між точковим джерелом і точкою спостереження непрозорий екран з круглим отвором, площина якого до осі а центр розташований на цій же осі. Згідно Френелю, дія такої перешкоди зводиться до того, що екран якби усуває ту частину хвильового фронту, яку він прикриває. На відкритій же частині світлове поле не змінюється. Це наближення геометричної оптики, а тому воно виконується, якщо радіус отвору >>
Визначимо розміри і число зон Френеля, що вкладаються в отвір Нехай - діаметр отвору, а та віддалені від його центру до та .
;
Число зон знайдемо, поділивши на .
