· удовлетворяют уравнениям сохранения массы, импульса и энергии;
· удовлетворяет Н - теореме.
Простота уравнения (2.46) обманчива. Это уравнение имеет сильную нелинейность, таким образом, локальные параметры - масса, импульс и энергия должны определяться через одночастичную функцию распределения , поэтому, как будет видно ниже, в то время как удалось уйти от одних проблем, возникли другие. При построении приближений следует принимать во внимание, что вид уравнения (2.46) дает два характерных времени - - характерное время микроскопической релаксации, время за которое заметно меняется. Кроме этого, из-за наличия возникает второе характерное время -. Легко показать, что . Полученный конденсационный поток выражен через пространственную концентрацию конденсирующегося пара. Показано, что минимальной информации о профиле концентрации достаточно для получения точного аналитического выражения для молекулярного потока при произвольном режиме конденсации и произвольной вероятности прилипания. Это и есть основной результат предложенного подхода. Следует несколько слов сказать о соотношении между равновесной концентрацией пара и концентрацией пара у поверхности частицы. Вообще говоря, предполагается, что , где - равновесная концентрация пара вблизи поверхности частицы. В то же время это не совсем так. Например, при неединичной вероятности прилипания (β), концентрация вблизи поверхности частицы отличается от и определяется кинетикой процесса переноса массы к частице. То же самое относится к переходному режиму конденсации, где скачок концентрации (также возникающий благодаря динамике переноса массы) заставляет поверхностную концентрацию отличаться от хорошо известного значения . На самом деле концентрацию саму необходимо находить из решения динамики столкновения, что ограничивает применение соотношения . Более детально эта проблема будет обсуждаться в рамках ВГК модели наряду с проблемой скачка концентрации.
3. Решение задачи и результаты исследования
3.1 Линеаризованное уравнение Больцмана для сферической геометрии в односкоростном приближении.
Рассмотрим получение левой части уравнения для функции распределения Больцмана - найдем выражение оператора . Для решения уравнения введем новую систему ортогональных координат . Эта система координат очень похожа на сферическую систему координат - .
Связь вводимой системы координат - она также ортогональна - с декартовой может быть представлена системой уравнений:
(3.1)
Для вычисления градиента в этой системе координат найдем метрический тензор:
(3.2)
После простых вычислений можно получить:
(3.3)
Тогда для градиента произвольной функции в этой системе координат:
(3.4)
Где - соответствующие орты в направлениях . Тогда производная в направлении вектора может быть представлена в форме:
(3.5)
Для рассматриваемой функции распределения Больцмана, как это было сделано в односкоростном приближении, соответствующим задаче Милна:
(3.6)
Тогда левая часть уравнения для функции распределения Больцмана в системе координат, описанной ранее, будет выглядеть следующим образом:
(3.7)
3.2 Основные уравнения
Предположим, что имеется сферическая частица (капля жидкости), которая окружена молекулами газа-носителя, концентрация которых - концентрации пара, который может как конденсироваться на капле, так и испаряться. Для того чтобы найти поток пара на частицу и распределение концентрации его вокруг частицы, необходимо рассчитать функцию распределения пара по координатам и ско5ростям. Для этого, вообще говоря, необходимо решить уравнение Больцмана. Будем считать, что линейная форма уравнения Больцмана дает хорошие результаты для рассматриваемого случая:
(3.8)
Здесь - функция распределения, зависящая от и r, а r расстояние от центра частицы до r и - угол между радиальным направлением и направлением скорости молекулы. Другие обозначения: l - средняя длина свободного пробега и
(3.9)
это численная концентрация молекул пара. Для простоты будем работать в системе единиц, где l = 1.
(3.10)
При интегрировании (3.8) по получается уравнение непрерывности:
(3.11)
Функцию распределения удобно разбить на две части:
(3.12)
где - единичная функция Хевисайда. С учетом (3.12) уравнение (3.8) дает два спаренных уравнения для и :
(3.13)
(3.14)
Функции и описывают молекулы пара двигающиеся по направлению к поверхности частицы и от частицы . Численная концентрация молекул и их поток может быть выражен через эти функции:
(3.15)
(3.16)
Система уравнений (3.13) и (3.14) должна быть дополнена граничными условиями:
(3.17)
Это наиболее простые граничные условия, устанавливающие связь между функциями и с помощью вероятности прилипания молекулы пара к поверхности частицы. Формула (3.9) означает, что доля налетающих на частицу молекул пара, которые остаются на ее поверхности, составляет , остальные молекулы, доля которых , зеркально отражаются от поверхности. Ниже будут представлены более общие граничные условия, которые не внесут существенных изменений в дальнейшее решение.
3.3 Формальное решение уравнения для функции распределения.
Введем новые переменные , которые связаны с соотношениями:
(3.18)
В этих переменных уравнения (3.6) и (3.7) принимают форму:
(3.19)
(3.20)
Предположим, что - это известная функция координат, тогда решение уравнения (3.19) можно получить в виде:
(3.21)
где . Правая часть уравнения (3.21) содержит растущую с r экспоненту, от которой следует избавиться выбором функции .Окончательный результат приобретает вид:
(3.22)
В переменных (3.22) имеют форму:
(3.23)
Теперь принимает вид:
(3.24)
3.4 Точные результаты решения уравнений
Дальнейшие шаги связаны с получением явного вида решения (3.24). Для этого необходимо получить зависимость . Введем новую функцию уравнением:
(3.25)
Эта функция предназначена для того, чтобы плавно перейти от значений концентрации пара на поверхности частицы к концентрации на далеких от частицы расстояниях. Естественно, . При подстановке выражения (3.24) в (3.25) получаем:
(3.26)
Здесь введены обозначения . Первый интеграл в правой части (3.26) легко посчитать:
(3.27)
Второй тоже легко привести к удобному для использования виду, для этого введем замену переменных: , :
(3.28)
В результате для получим удобное выражение:
(3.29)
Теперь выражения для распределения концентрации и потока молекул j принимают форму:
(3.30)
(3.31)
Здесь введены следующие обозначения и
(3.32)
В соответствии с уравнением (3.11) можно записать, что , а также , откуда с учетом (3.25) при для потока у поверхности частицы получим:
(3.33)
где D коэффициент диффузии (D=1/3 в БГК приближении) и введем обозначение . Таким образом, найдена связь между потоком у поверхности частицы с параметрами распределения концентрации пара на далеком удалении от нее.
Чтобы установить форму этой зависимости, представим в виде двух слагаемых, каждое из которых определяет поведение концентрации у поверхности и вдали от частицы:
(3.34)
Здесь функция равна единице при и ничтожно мала на расстояниях порядка длины свободного пробега молекул пара и более (r порядка 1 в наших единицах). Тогда
, (3.35)
где
(3.36)
и
(3.37)
При подстановке соотношения (3.34) в уравнения (3.30) и (3.31) можно получить:
(3.38)
(3.39)
где. Уравнение (3.33) позволяет исключить комбинацию при помощи линейной системы уравнений для и :
(3.40)
(3.41)
Решение этих уравнений можно представить через детерминанты:
(3.42)
(3.43)
(3.44)
Окончательно получим:
(3.45)
Можно получить и явную форму этих выражений:
(3.46)
3.5 Пограничный слой.
Следует учитывать, что, несмотря на то, что все выше полученные выражения точные, пока нет рецепта, как считать интегралы, входящие в выражения (3.42- 3.44). Для этого надо понять, как выбрать конкретный вид функции . Вообще говоря, это может быть сделано при нахождении точного решения уравнения (3.8). Однако на данном этапе это невозможно. На самом деле известны свойства функции , поэтому ее можно подобрать, используя подгоночные параметры пробных функций. Для этого необходимо с помощью этой функции суметь подобрать правильный профиль концентрации паров вокруг частицы. Такой функцией может быть зависимость вида:
(3.47)
где величина параметра - это характерное расстояние, на котором свободно молекулярный режим переходит в непрерывный. Множитель - описывает профиль концентрации конденсирующихся паров в безстолкновительном режиме, когда поток пропорционален плотности, а не ее градиенту. Поскольку поток пропорционален , то . Экспоненциальный множитель аппроксимирует переход от свободно молекулярного режима к непрерывному. Таким образом, вместо уравнения (3.36) получается:
(3.48)
Представленная интерпретация достаточно прямолинейна, чувствительность окончательного результата к величине будет позже исследована. На рисунке 1 показан профиль концентрации при различных значениях величины . Вообще говоря, может быть найдена при помощи вариационных расчетов.
Рис. 1. Профиль концентрации вблизи поверхности частицы (см. уравнения (3.25), (3.34) и (3.47)). Концентрации нормированы на 1, расстояние измерено в длинах свободного пробега. Кривые 1-4 рассчитаны для = 1, 3, 10, соответственно как функции расстояния от центра частицы. Радиус частицы а=1. Последняя кривая соответствует приближению скачка профиля концентрации: сам профиль концентрации получен из уравнения Фика, а граничные условия для концентрации пара - из решения кинетического уравнения (см. уравнение (3.59)).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
