Итак, найдём параметр . Для этого построим функционал и минимизируем его численными методами с помощью ЭВМ. Итак, вспомним уравнение (3.13). Оно и станет основой для нашего функционала:
(3.49)
В результате преобразования получим:
(3.50)
Теперь можно записать функционал, который надо минимизировать относительно параметра :
(3.51)
где
(3.52)
, (3.53)
, (3.54)
, (3.55)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
Вышеописанная модель была реализована в двух видах: в качестве программы на языке C с использованием библиотеки GSL, а так же в виде приложения пакета Mathcad. Рассмотрим полученные результаты:
Рис. 2. Значение функционала (3.51) в диффузионном (непрерывном) режиме .
Рис. 3. Значение функционала (3.51) в переходном режиме .
Рис. 4. Значение функционала (3.51) в свободномолекулярном (кинетическом) режиме .
Мы видим, что функционал уменьшается с ростом . Это соответствует скачку концентрации на поверхности частицы. Таким образом, модель оказалась чувствительной к скачку концентрации, то есть оправдывающей приближение, описанное ниже.
Рассмотрим влияние параметра на окончательный результат:
Рис. 5. Зависимость потока конденсирующихся паров . Потоки нормированы на 1, расстояния измерены в длинах свободного пробега: а) - полная вероятность прилипания, кривая 1 соответствует = 1, кривая 2 соответствует скачку концентрации ( ), показано также и отношение этих потоков; б) - при уменьшении приближение скачка концентрации дает лучшую точность
Из рисунка 5 видно, что окончательный результат не сильно зависит от параметра . Максимальное отклонение между граничными значениями и не превышает 10% и уменьшается при уменьшении .
3.6. Приближение скачка концентрации на поверхности частицы
Рассмотрим случай, когда . При больших функция ведет себя довольно резко (на расстояниях порядка ), при этом она изменяется от до (см. рис. 1). На предельном значении это изменение соответствует скачку концентрации между значениями и . Интегралы находятся в этом пределе. Конечно, это приближение оставляет правильным асимптотическое поведение потока при больших и малых значениях а. Если пренебречь выражением, пропорциональным , то можно из уравнений (3.40) и (3.41) получить:
(3.59)
(3.60)
(3.61)
При выводе этих уравнений было использовано то, что .
3.7 Численные результаты
Зависимости j от вероятности прилипания показаны на рисунке 6 для различных размеров частиц а.
Рис. 6. Зависимость относительного потока конденсирующихся паров ( ,где - поток при свободно молекулярном режиме при ) от вероятности прилипания . Расстояния измерены в длинах свободного пробега. При расчетах использовалась система уравнений (3.38).
Поток был найден из уравнения (3.59), а после этого был сопоставлен с формулой Фукса-Сутунгина, которая для произвольных может быть переписана в форме уравнения (3.59) с , замененным на ([10]):
(3.62)
Соответствие между формулами, как можно видеть из рисунков 8 и 9, не требует комментариев за исключением того, что при малых это соответствие становится хуже.
Рис. 7. Поток конденсирующихся паров: сравнение приближения скачка концентрации с формулой Фукса-Сутугина при вероятности прилипания =1. Потоки вблизи поверхности частицы нормированы на 1, расстояния измерены в длинах свободного пробега. Кривая 1: формула Фукса-Сутугина. Кривая 2: приближение скачка концентрации (уравнение (3.59)).
Рис. 8. Поток конденсирующихся паров: сравнение приближения скачка концентрации с формулой Фукса-Сутугина при вероятности прилипания = 0.1. Потоки вблизи поверхности частицы нормированы на 1, расстояния измерены в длинах свободного пробега. Кривая 1: формула Фукса-Сутугина. Кривая 2: приближение скачка концентрации (уравнение (3.59)).
График роста частицы для различных вероятностей прилипания представленная на рисунке 9 и рисунке 10 была найдена из уравнений (2.41) и (3.59).
Рис. 9. Размер частицы a(t), найденный из уравнений (2.41) и (3.59). Масса и плотность налетающих частиц взяты равными единице.
Рис. 10. Размер частицы a(t), найденный из уравнений (2.41) и (3.59). Масса и плотность налетающих частиц взяты равными единице.
4. Выводы и заключение.
В результате работы над дипломом было сделано:
1. Исследован процесс конденсации при различных числах Кнудсена.
2. Для расчета плотности потока молекул пара на частицу было использовано решение линеаризованного уравнения Больцмана.
3. Оценено значение параметра решения уравнения Больцмана для широкого диапазона значений чисел Кнудсена.
4. Выявлено, что модель односкоростного приближения дает скачок концентрации на поверхности. Это означает, что значение параметра решения должно быть очень большим.
5. Численные эксперименты показали, что наиболее важные величины, поток молекул пара, скорость роста частицы, слабо зависят от значения определяемого параметра.
6. При малых значениях вероятности прилипания эта зависимость становится еще меньше.
7. Предложен и реализован алгоритм расчета конденсационного роста частиц при различных числах Кнудсена вероятностях прилипания молекул пара к поверхности частицы.
Список литературы
1. J.C. Maxwell Collected Scientific Papers, Cambridge, 11, 625, 1890.
2. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. - Изд. АН СССР, Итоги науки, с. 90, 1958.
3. Н.Фукс, ЖЭТФ, т.4, вып. 7, 1934.
4. Li Y.Q., Davidovits P., Shi Q., Jayne J.T., Kolb C.E., Worsnop D.R. Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O(g) on Liquid Water as Function of Temperatrue. - J.Phys.Chem.A, 105, 29, 10627-10634, 2001.
5. Heidenreich S., Buttner H. Investigation about the infuence of the Kelvin effect on droplet growth rate. - J.Aerosol Sci., v.26, n.2, 335 - 339, 1995.
6. Shi Q., Davidovits P., Jayne J.T., Worsnop D.R., Kolb C.E. Uptake of gas-phase ammonia. 1. Uptake by aqueous surfases as function of pH. - Mass and Thermal Accomodation Coefficients of H2O(g) on Liquid J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8812-8823, 1999.
7. Swartz E., Shi Q., Davidovits P., Jayne J.T., Worsnop D.R., Kolb C.E. Uptake of gas-phase ammonia. 2. Uptake by sufuric acid surfaxres J.Phys.Chem.A, 103, 29, 8824-8833 1999
8. Widmann J.F., Davis E.J. Mathemetical models of the uptake of C1ONO2 and other gases by atmospheric aerosols. - J.AerosoI Sci., v.28, n.2, pp. 87 - 106, 1997.
9. Fuchs N.A., Sutugin A.G. Highly dispersed aerosols, in Topicsin Current Aerosol Research (Part 2), ed. by CM. Hidy and J.R. Brock, New York, pp. 1-200, 1971.
10. Dahneke B. Simple kinetic theory of Brownian diffusion in vapor and aerosols, in Theory of Dispersed Multiphase Flow, ed. by R.E. Meyer Academic Press, New York, pp. 97 - 133, 1983.
11. Loyalka S.K. Modelling of condensation in aerosols. - Prog. Nucl.Energy, v.12, pp.1-? 1983.
12. Sitarski M., Nowakowski B. Condensation rate of trace vapor on Knudsen aerosols from solution of the Boltzmann equation. - J.Colloid Interface Sci., v.72, pp.113-122, 1979.
13. Лушников А.А., Загайнов В.А. Кинетические эффекты конденсации при произвольной вероятности прилипания молекул к частицам. - Изв. АН, сер. ФАС), т.38, №2, с. 192 - 199.
14. К. Черчиньяни. Теория и приложения уравнения Больцмана. - Изд. Мир. Москва, 1978.
15. Резибуа П., Де Ленер П. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. - Изд. Мир, Москва, 1980.
16. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M. A model for collision processes in gases.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
