Кинематика
Кинематика
тема 1 кинематика точки
1.1 предмет изучения
С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».
Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.
Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.
Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.
Основная задача
кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или
какой-либо его точки) найти все остальные
кинематические характеристики движения.
Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.
1.2 Способы задания движения точки
Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.
1.2.1 Векторный способ
Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость
(1.1)
называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.
|
|
1.2.2 Координатный способ
С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.
|
|
Зависимости
х=f1(t); у=f2(t); z=f3(t) (1.2)
называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).
Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.
1.2.3 Естественный способ
При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.
Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость
S = f(t) (1.3)
называется уравнением движения в естественной форме.
|
|
1.2.4 Связь между способами задания движения
Координатный векторный способы связаны зависимостью:
(1.4)
где - единичные орты координатных осей.
Переход от координатного способа к естественному:
здесь: ;
(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).
1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения
Пусть точка за время переходит из положения М в положение М1, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4) называется вектором перемеще-ния. - средняя скорость.
Например, вектор по хорде М М1. если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.
Рис. 1.4
(1.6)
Направлен вектор скорости по касательной к траектории.
Определение ускорения:
Пусть в положении М скорость , а в положении М1 (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5).
Среднее ускорение:
Ускорение в данный момент
(1.7)
Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.
1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
при координатном способе задания движения:
(а)
с другой стороны:
(б)
Сравнивая (а) и (б) находим:
; ; (1.8)
т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.
Величина скорости:
(1.9)
направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).
|
(1.10)
Аналогично ищем ускорения:
Сравнивая (в), (г), (д) находим:
(1.11)
Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.
Величина ускорения:
(1.12)
Направляющие косинусы:
; ; ; (1.13)
1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения
Пусть за время точка переместилась из положения М в положение М1, совершив перемещение (рис. 1.17).
|
|
величина скорости точки:
(1.14)
Направлена скорость по касательной к траектории:
Найдем ускорение точки.
Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8).
Полное ускорение точки будет:
Обозначим угол между касательными через (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения на касательную и нормам п.
|
|
Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и и .
где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.
Подставив эти значения в ап получим:
Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:
|
|
|
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.
Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.
1.6 Частные случаи движения точки
По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении ап = 0, т.к. ρ = ∞.
По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.
Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).
Закон равномерного движения:
S=S0+Vt (1.18)
Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.
Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:
(1.19)
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения
Тема 2 Простейшие движения тела
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.
