2.1 Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.
Это самое простое движение тела.
Оно описывается одной теоремой:
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.
Доказательство:
Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.
|
|
Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (), а также вектор из точки А в точку В.
Очевидно, что
Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что .
; но , значит
(2.1)
дифференцируя (2.1) по времени: , получаем:
(2.2)
Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.
Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.
2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.
Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).
Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.
Зависимость
φ = φ(t) (2.3)
называется уравнением вращательного движения.
|
|
Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.
Угловая скорость в данный момент времени:
(2.3)
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение происходящей против часовой стрелки. Изменяется ω в радиан/сек. На производстве угловую скорость измеряют в об/мин. В этом случае она обозначается буквой «п».
Формула перехода:
(2.4)
Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:
(2.5)
Направлен вектор также по оси вращения в сторону при ускоренном и противоположном при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с2.
2.3 Равномерное и равнопеременное вращение
Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω = const.
Закон равномерного вращения:
φ=φ0+ωt (2.6)
Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε = const.
Но . Разделяя переменные и интеграции находим, что
(2.7)
Подставив сюда и еще раз интегрируя , получим уравнение переменного вращения:
(2.8)
2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела
пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).
Тогда скорость точки
(2.9)
Направлен вектор скорости по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения.
Найдем нормальное и касательное ускорение точки:
|
|
|
||||
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения.
Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости.
Рассмотрим векторное произведение (рис. 2.4). Его модуль , а направление совпадает с направлением скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости:
(2.11)
взяв от этого выражения производную по времени, получим:
Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением.
Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами:
(2.12)
|
|
Отметим, что радиус-вектор точки М можно проводить из любой точки О1, лежащей на оси вращения (все точки оси вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только направление).
2.5 Простейшие передаточные механизмы
Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а ременных и цепных на рис. 2.5.б.
Найдем скорость точки а: на колесе І и на колесе ІІ. Так как проскальзывание отсутствует, то .
Отсюда:
(2.13)
т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i1-2 называется передаточным отношением.
У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».
Тема 3 Сложное движение точки
3.1 Основные определения
До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки.
Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: (или ).
Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М, являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются (или ).
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются (или ).
Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а координаты х/, у/, z/ точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются константами. Но в любой момент времени
х = х/, у = у/, z = z/ (3.1)
Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).
- радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы охуz в неподвижной системе отсчета о1х1у1z1.
=- радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное движение точки.
- радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в этой же системе.
- радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки.
- радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной системе отсчета. Он описывает абсолютное движение.
3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений
Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов.
1. Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора , считая единичные орты константами (в подвижной системе – они постоянны).
