Книга S.Gran "A Course in Ocean Engineering". Глава "Усталость"

Рис. 4.7.1   Избранные диаграммы, показывающие действие циклических сил в морских конструкциях: a) Напряжения в корпусе танкера вызванные волнами в трех различных состояниях моря; b) Колебания в прибрежных кранах поднимающих грузы с и на транспортные корабли; c) Низкочастотный изгиб корпуса, вызванный изменением распределения груза в танкере; d) Ежедневные деформации в судне, происходящие из-за воздействия солнечного света; e) Растяжение швартовочного троса у дрейфующего танкера пришвартованного носом к рейдовому причалу; f) Напряжения в вале гребного винта небольшого рыболовного судна; g) Циклические силы действующие на элемент вызванные вихрем (моделирование на ЭВМ).

Статистические распределения напряжений. Что касается усталости, то обычно принимают во внимание размах напряжений. Ниже он обозначен через S. Если цикл напряжений имеет максимальное значение smax, а затем минимальное smin, то размах напряжений будет S=smax-smin. Основное гамма распределение будет выбрано как стандартное распределение для размаха напряжений. То же самое будет сделано при предсказании предельных значений. Основной причиной этого является то, что около нуля статистические моменты нецелочисленного порядка, которые часто появляются в формулах усталости, могут быть получены через аналитические выражения. Впрочем, это также может быть в случае основного бета распределения (2.2.5) и основного F-распределения (2.2.64), которые также могут быть использованы, когда это удобно.

По существу, запись гамма распределения будет такой же, как в главе 4.5.2. В стационарном коротком интервале времени размах, т.е. удвоенная амплитуда, циклов напряжений распределяется согласно функции гамма распределения с плотностью вероятности (2.6.16). Т.к. масштабный параметр A будет меняться с течением времени, то мы обозначим этот параметр переменной X так, что распределение размахов напряжений для малого интервала времени становится:

как в (4.5.14). В некоторых случаях это будет распределение Рэлея (Rayleigh), тогда параметры будут

где ss среднеквадратическое значение (СК) компоненты напряжений. В других случаях как, например, с силами сопротивления воздействию волн, может быть также близким к экспоненциальному распределению, где в таком случае, можно взять следующие параметры

В этом случае, переменная X равна среднему размаху напряжений , а также равна соответствующему среднеквадратическому отклонению ss. Для больших интервалов времени, мы можем принять, что параметры a и h постоянны, тогда как масштабный параметр X изменяется в соответствии со вторым гамма распределением с функцией плотности вероятности:

Параметры b, j и B могут быть получены из регулярных долгосрочных измерений или из расчетов колебательных напряжений основанных на долгосрочной статистике колебаний. Обычно, (4.7.4) дается как распределение зависящее от времени, а именно как (4.5.15). Однако, т.к. развитие усталости является типичным процессом зависящим от количества циклов, то более точные результаты получаются при использовании распределения зависящего от числа циклов (4.5.21). Оно применяется, когда есть степенное соотношение вида (4.5.17) между средним периодом и средним уровнем напряжений.

Распределение размаха напряжений для больших интервалов времени. Т.к. усталость это продолжительный процесс, то большинство входных данных по нагрузке будет соответствовать распределению размахов напряжений для больших отрезков времени. Для того чтобы его получить, размах напряжений в каждом стационарном состоянии моря заданный (4.7.1) должен быть оценен через вероятность возникновения этого состояния заданную выражением (4.7.4). Т.о., для больших интервалов времени размах напряжений обычно задают с помощью интеграла

Для этого распределения, момент Mm главного, не обязательно целочисленного, порядка m может быть точно найден как

В некоторых случаях этот момент является достаточным для оценки усталостного ресурса при среднеквадратических значениях напряжений имеющих гамма распределение. Для того, чтобы найти собственно плотность вероятности f(S), выражение (4.7.5) может быть интегрировано аналитически, но лишь в ограниченном числе случаев. В большинстве случаев, приближенное гамма распределение может быть найдено различными путями. Это подробно описано в главе 4.5, а здесь будет лишь подведен итог.

Функция плотности вероятности для распределения размахов напряжений для больших интервалов времени может быть записана как в (4.5.23):

где параметры d, k и D определены как функции неизвестных параметров a, h, b, j и B. Есть, по крайней мере, три метода для их получения:

1.       Элементарный метод, глава 4.5.1;

2.       Метод логарифмических моментов, глава 4.5.3;

3.       Метод седловой точки (метод перевала), глава 4.5.5.

Элементарный метод, глава 4.5.1, широко использует удобные свойства двухпараметрового распределения Вейбулла (Weibull). Однако, т.к. это частный случай основного гамма распределения, то можно заранее принять, что все параметры формы распределения равны единице. Это предполагает, что в распределениях вероятностей (4.7.1), (4.7.4) и (4.7.7) будет

Масштабный параметр D в заданном большом интервале времени вычисляют из (4.5.12) и параметр наклона k находят из таблицы 4.5.1. В действительности, масштабный параметр D связанный с предельной амплитудой для большого интервала времени, обозначенной в (4.5.12) через Yc, часто бывает удобен, т.к. усталостный ресурс и вероятность перегружения описываются во многом одними и теме же переменными.

Метод логарифмических моментов, глава 4.5.3, используют для получения точных значений для первых трех логарифмических моментов для распределения вероятностей (4.7.7). Параметр формы d определяют из (4.5.35). Затем, параметр наклона k вычисляют из (4.5.36), и наконец, масштабный D параметр находят из (4.5.37). Этот метод дает хорошее соответствие в центральной области распределения и, т.о., наиболее пригоден для расчетов на усталость. Метод является наиболее общим, т.к. все параметры формы распределения a, b и d в (4.7.8) могут иметь произвольные значения.

Метод седловой точки, глава 4.5.5, является асимптотическим методом, который дает наилучшие результаты для оценки предельных напряжений. Он может быть удобен для усталостных целей из-за его численной простоты. Здесь параметр формы d задан выражением (4.5.82). Параметр наклона k задан (4.5.86), масштабный параметр D (4.5.87). Подобно элементарному методу, этот метод определяет не только предельные напряжения, но еще и напряженное состояние для короткого интервала времени, при котором появление этого цикла предельных напряжений наиболее вероятно. Это условие определяют с помощью масштаба напряжений Xc, данного в (4.5.92) и продолжительности (4.5.95) измеренной за n циклов. Метод седловой точки требует, чтобы параметр формы для малого отрезка времени a в (4.7.1) был равен единице.

Коэффициент концентрации напряжений. Прежде, размах напряжений S вводился без дальнейшего пояснения. Однако, в усталости элементов конструкции и тем более в механике разрушения, важно рассматривать напряжения на верном структурном уровне, а также верную компоненту тензора напряжений или комбинацию компонент. Для этих целей, вводят коэффициент концентрации напряжений в качестве связи между общими и местными напряжениями.

Например, как упоминалось в главе 3.8.6, эквивалентный брус (корпус судна рассматривается как балка) может быть подвергнут в средней части вертикальному изгибающему моменту M. Этот изгибающий момент вносит общие продольные напряжения sglobal в корпусе корабля. Соотношение между ними выражается через модуль сечения корпуса W, определенный в (3.1.18) так, что sglobal =M/W. Посмотрите рис. 4.7.2. Теперь предположим, что в корпусе есть прямоугольный люк. Продольные напряжения вдоль поперечного края люка обязательно равны нулю так, что в прилегающей области корпуса вызываются более высокие напряжения, особенно в углах. Предполагается, что местное значение продольных напряжений пропорционально общему напряжению, соотношение задается теоретическим (геометрическим) коэффициентом концентрации напряжений Kt, так, что slocal =Ktsglobal.

Рис. 4.7.2   Концентрация напряжений, обусловленная наличием люка в корпусе корабля. Общие продольные напряжения, вызванные изгибающим моментом, на которые оказывает влияние люк, порождают концентрацию напряжений в углах.

В некоторых конструкциях, например в соединениях труб, коэффициент концентрации напряжений будет изменяться вблизи замкнутого контура края элемента в достаточно сложном образце, являясь причиной роста вплоть до критических значений, часто называемых “hot spots” (т.е. области повышенных напряжений). В некоторых данных по усталости, таких как в первом издании работы /6/, элементы конструкции классифицируют согласно показателю влияния надреза (эффективного коэффициента концентрации напряжений) Kf, который используют при построении усталостных кривых. Эффективный коэффициент концентрации напряжений является более определенным коэффициентом концентрации напряжений, преобразованным для того, чтобы учесть конкретную усталостную прочность материала. Для хрупких материалов эффективный коэффициент концентрации напряжений Kf близок к теоретическому коэффициенту Kt. Для пластичных материалов он может быть значительно ниже, отклонение задается индивидуальным коэффициентом чувствительности материала к концентрации напряжений.

Мы будем рассматривать размах напряжений S в описанных выше функциях вероятности как номинальные напряжения. Это может относится к общим, местным и сублокальным напряжениям в зависимости от обстоятельств, в основном к тем типам напряжений, которые необходимы для S-N кривых. Некоторые S-N кривые требуют, чтобы коэффициент концентрации напряжений включал компоненты номинальных напряжений. Другие S-N кривые учитывают возможные коэффициенты концентрации напряжений в соответствующем элементе конструкции.