Мы имеем подобный эффект и в усталости. Поскольку коэффициент использования h это сумма вкладов в усталость отдельных циклов напряжений, то эта сумма также обязательно будет случайной, и будет иметь некоторую дисперсию. Если все переменные данного материала и параметры распределения напряжений рассматриваются как заданные, то коэффициент использования h, а также прогнозируемый ресурс, все равно будут иметь погрешность вызванную естественной дисперсией.
Распределение отдельных скачков. Мы можем рассмотреть коэффициент использования как точку движущуюся скачкообразно вдоль координатной оси h. Первоначально, когда конструкция новая, эта точка расположена на h=0. Предполагается, что конструкция изношена или требует ремонта, когда точка проходит через h=1. Коэффициент использования h, на этом отрезке, перемещается скачками
движимый вперед отдельными циклами напряжений. Вообще, Dhj – это возрастание, вызванное j-м циклом напряжений.
Средний период напряжений можно обозначить через T. По истечении времени t=nT конструкция испытывает n циклов напряжений и значение коэффициента использования можно записать как
Длины отдельных скачков Dh принадлежат одному и тому же статистическому ансамблю и можно предположить, что они имеют одно и то же распределение вероятностей. Поэтому, для удобства, мы опишем длину скачка Dh с помощью случайной величины Dh=xi. Эта переменная связана с размахом напряжений S действительных циклов напряжений по всей S-N кривой. Учитывая, для удобства, основную кривую (4.7.9) это дает
Теперь, S – размах напряжений вызванный действием волн на конструкцию, который подчиняется гамма распределению с плотностью вероятности для больших интервалов времени (4.7.7), т.е. g(d, k, D; S).
Т.к. соотношение (4.7.39) согласовывается с преобразованием энергии (2.6.31), то длина скачка xi также подчиняется гамма распределению с функцией плотности вероятности f(xi)
как было получено в (2.6.33). Математическое ожидание длины скачка xi получено из (2.6.17) как момент первого порядка
Соответствующие статистические моменты порядка 2 и 3 около нуля
и
соответственно. Для последующего использования, мы подставили обобщенные скорости U, V и W, определенные из выражений
В частности, U может интерпретироваться как средний рост коэффициента использования h за один цикл.
Дисперсия длины скачка xi может быть получена как центральный момент второго порядка (2.4.3), что дает
Параметр n - это среднеквадратическое отклонение относительно математического ожидания длины скачка , этот параметр можно найти и в (2.4.3). Есть сходство с (2.8.34) по ширине диапазона.
Аналогично, центральный момент m3(xi) длины скачка xi может быть получен из (2.4.4) и его можно записать
l - это коэффициент асимметрии длины отдельного скачка. Например, для экспоненциального распределения он равен 2, а для нормального распределения 0.
Распределение вероятностей длины скачка Dh=xi имеет характеристическую функцию f(s), определенную в общем виде в (2.4.8) как
где s, в общем, может быть комплексным параметром. Разложение экспоненты в интеграле в ряд даст
Почленно интегрируя по xi и учитывая выражения (4.7.41) – (4.7.44) получим
Говоря физическим языком, отдельные вклады xi в коэффициент использования, которые вносятся напряжениями вызванными волнами, обычно довольно-таки нерегулярны. Если размах напряжений распределен экспоненциально, что часто бывает в морских конструкциях, то отдельный вклад xi для m=1 имеет среднеквадратическое относительное отклонение n=4,36 и коэффициент асимметрии l=19,6. Следовательно, функция плотности вероятности для отдельных приростов коэффициента использования очень широкая и в значительной степени асимметричная.
Уравнение движения для коэффициента использования. Коэффициент использования h в момент времени t описывают при помощи функции плотности вероятности r(h,t). Соответствующую характеристическую функцию обозначим через F(s,t), где s – такая же переменная, как и в (4.7.48). Ее получают с помощью преобразования плотности вероятности r(h,t)
Позже, эта характеристическая функция будет использована для вывода дифференциального уравнения в частных производных для r(h,t).
Теперь, если коэффициент использования после n циклов напряжений обозначен через hn, как в (4.7.38), то коэффициент использования одним периодом позже будет
Согласно гипотезе Палмгрена-Майнера, вклад xi не зависит от предыдущих вкладов, так, что hn и xi статистически независимы. В связи с этим, характеристические функции перемножаются, как это установлено правилом C в главе 2.4.2(iii). Т.к. эти функции уже определны в выражениях (4.7.50) и (4.7.47) соответственно, то характеристической функцией для распределения вероятностей h в момент времени t+T будет
Коэффициент использования h увеличивается скачкообразно и нерегулярно. Следовательно, он не имеет непрерывной скорости изменения, хотя можно вывести ее среднее значение из скорости роста U в (4.7.41). Тем не менее, можно считать, что функция вероятности r(h,t) и характеристическая функция F(s,t) изменяются во времени непрерывно. Т.о., мы можем найти производную характеристической функции по времени на примере изменения через один цикл напряжений T
Левую часть выражения можно заменить на производную (4.7.50) по времени, тогда как в правую часть можно подставить (4.7.52) и (4.7.49).
Если мы рассматриваем F(s,t) в качестве преобразования Лапласа (Laplace) по h, который входит в плотность вероятности r(h,t), то члены вида sjF(s,t) в (4.7.54) будут определены как преобразование Лапласа производных от r(h,t) по h. Формально, его можно вывести с помощью трех последовательных интегрирований по частям правого интеграла из (4.7.50). Подставленное в (4.7.54) оно даст
Первым необходимым условием для всех h и t в этом соотношении является то, что функция плотности вероятности должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных
Это уравнение Фоккера-Планка третьего порядка (посмотрите работу /10/), которое включает смещение, рассеяние и асимметрию. Данное уравнение количественно описывает поведение функции вероятности с течением времени. Три коэффициента U, V и W заданы в (4.7.44) и могут быть вычислены на основе параметров распределения вероятностей и данных по S-N кривых.
Однако, что бы (4.7.56) было полным решением, для граничных членов во второй строке (4.7.55) необходимо, что бы r(h,t) и его первые две производные по h, были равны нулю при h=0 и h=¥. Т.к. функция плотности вероятности (4.7.40) длин отдельных скачков xi может быть равна бесконечности при xi=0, то r(h,t) также может быть первоначально равна бесконечности. По этой причине, одно уравнение Фоккера-Планка (4.7.56) не всегда может достаточно полно описать первый этап развития усталости.
Моменты и приближенные решения. Помимо уравнения Фоккера-Планка (4.7.56), можно получить достаточно хорошие данные по усталостному распределению вероятностей r(h,t) учитывая моменты.
Как установлено выше, мы можем рассматривать длины скачков в сумме (4.7.38) как статистически независимые. Согласно правилу C в параграфе 2.4.2(iv), три первых центральных момента складываются. Т.е. среднее значение и два первых центральных момента коэффициента использования после n циклов будут
Т.о., среднеквадратическое отклонение, также как и момент третьего порядка коэффициента h, будет расти с увеличением n. Среднеквадратическое отклонение величины h относительно математического ожидания будет
где n - это относительна дисперсия каждого отдельного скачка, определенная в (4.7.45). Таким же образом, показатель асимметрии коэффициента использования после n циклов
где l - основная асимметрия (4.7.46) в отдельных скачках. Т.о., как относительная дисперсия, так и показатель асимметрии уменьшаются с течением времени и ростом n. В зависимости от значения показателя асимметрии l3, функция вероятности r(h,t) может быть приблизительно найдена с помощью стандартных распределений.
Когда асимметрия становиться меньше двух, т.е. l3<2,0, распределение вероятностей r(h,t) для h может быть представлено экспоненциальным гамма распределением с плотностью (4.2.21). Это имеет место для размахов напряжений распределенных экспоненциально и m=3 при n>96 циклов. Функцию плотности вероятности можно записать
Параметры a, h и u (не путать с параметрами (4.7.1)) можно найти из моментов, как это показано в главе 4.2.2.
Сначала, из уравнения (4.2.32) определяют форму или параметр асимметрии a как решение уравнения
Затем, находят параметр дисперсии h, так же как в (4.2.33), т.е.
Наконец, параметр распространения u вычисляют из (4.2.34)
y-функции – это поли-гамма функции, они представлены в приложении B.
Когда время проходит и асимметрия становится еще меньше, например l3<0,4, для поли-гамма функций можно использовать некоторые асимптотические формулы. Для экспоненциальных распределений размахов напряжений это происходит при n>2400. Параметры экспоненциального гамма распределения a, h и u можно вычислить по более простым формулам
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
