Это есть уравнение эллипса на плоскости (р,х). Каждому значению энергии Е, определяемому начальными условиями, отвечает единственная фазовая траектория осциллятора.
Чтобы изучить фазовую траекторию системы с двумя степенями свободы (размерность фазового пространства равна тогда 4), следует рассмотреть сечения фазового пространства должным образом выбранной плоскостью А, отвечающей фиксированному моменту времени. В результате получается сечение Пуанкаре. В некоторых случаях удается точно найти преобразование координат плоскости, позволяющее переходить от одного сечения к другому. Существует стандартный вид такого преобразования, задаваемого формулами:
x’ = x + asin(x + y),
y’ = x + y
где подразумевается, что штрихованные координаты вычислены по модулю 2p.
Иногда удается найти преобразование переменных, позволяющее переходить от одной точки в фазовом пространстве к другой. В этом случае можно изучить поведение системы за длительный период времени, используя ЭВМ. Простой пример таких преобразований показан на рис.6, где в сильно упрощенном виде показаны разные типы возможных траекторий.
|
||||
|
||||
В центре графика показаны орбиты, отвечающие малым значениям параметра возмущения; они представляют собой замкнутые гладкие кривые. Во внешней области появляются шесть областей устойчивости, внутри которых структура похожа на ту, которая имеется в центре. Вокруг каждого из островов устойчивости существует область неустойчивости, хаотическая зона. Она соответствует области колебания маятника вблизи границы, где движения сильно зависят от начальных условий и могут быть очень нестабильны. Приведенный рисунок получен в результате численного моделирования на ЭВМ и полностью согласуется с результатами теорий Пуанкаре и КАМ. Рисунок тем и замечателен, что он был теоретически описан математиками еще до появления ЭВМ.
ГИПЕРИОН И ПОЯС АСТЕРОИДОВ КАК ИЛЛЮСТРАЦИЯ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ. РЕЗОНАНСЫ В ДВИЖЕНИИ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ.
Теоретическое существование хаотических режимов движения в системах, подчиняющихся законам небесной механики, совсем не означает, что эти режимы должны обязательно наблюдаться. Их можно наблюдать только в том случае, если орбитальные параметры каких-то тел Солнечной системы существенно меняются за время, много меньшее возраста самой этой системы.
Одним из первых примеров можно взять поведение Гипериона, спутника Сатурна, фотографии которого были получены в 1981 г. космическим зондом «Вояджер-2». Гиперион представляет собой бесформенную глыбу, длина которой вдвое больше ширины (самый малый поперечный размер 200 км.). Хаотическая форма Гипериона объясняется существованием области неустойчивости при движении в системе Гиперион – Титан – Сатурн, да и сам Гиперион хаотично вращается вокруг своей оси.
Сечение Пуанкаре траектории Гипериона, рассчитанное на ЭВМ, соответствует стационарной орбите, возникающей в результате резонанса движений двух спутников Сатурна – Титана и Гипериона (резонансом в данном случае является такое движение спутников вокруг планеты, когда время обращения одного кратно времени обращения другого). Однако, если начальные условия совсем немного отличаются от тех, которые соответствуют этой орбите, траектории попадают в зону неустойчивости. Тело, помещенное на неустойчивую орбиту, будет рано или поздно выброшено из системы Сатурн – Титан – Гиперион при сближении с Титаном. Итак, теперь можно дать объяснение бесформенности Гипериона. За время своего существования Гиперион испытал многократные столкновения со сравнительно небольшими телами, обильно населяющими окрестности Сатурна. Куски Гипериона, которые были отколоты в результате таких ударов, собрались вокруг него под действием сил гравитации в гигантское облако. Однако благодаря наличию зоны неустойчивости вблизи орбиты Гипериона, эти осколки не упали обратно на Гиперион, а были постепенно (за время, много меньшее времени жизни самого Гипериона) выброшены из системы Сатурн – Титан – Гиперион в окружающее пространство.
Есть и другой тип неустойчивости при движении тел в Солнечной системе. Большинство спутников планет и даже одна из планет (Меркурий) совершают движения, жестко определяющиеся резонансом между вращением вокруг оси и обращением вокруг планеты или Солнца: за время полного оборота по орбите они обращаются вокруг своей оси целое число раз. Именно по этой причине Луна повернута к нам всегда одной стороной. Она вращается вокруг своей оси с тем же периодом, что и период ее вращения по орбите вокруг Земли (резонанс 1:1). Такое синхронное вращение установилось постепенно, за время порядка времени существования Солнечной системы. Физическая причина этой резонансной настройки двух вращений – приливные гравитационные силы, постепенно тормозящия вращение Луны вокруг своей оси и меняющиеся с периодом, равным периоду обращения Луны вокруг Земли.
Как было показано в 1984 г., Гиперион близок как к этому резонансному состоянию (1:1), так и к резонансному состоянию 3:2. Российский физик Б.Чириков показал, что в такой ситуации, когда динамическая система пытается установить согласие между двумя резонансными состояниями, возникает неустойчивость. Действительно, недавние наблюдения подтверждают, что направление оси вращения и угловая скорость Гипериона изменяются случайным образом на протяжении времени в несколько периодов обращения по орбите (21 день).
Итак, движение Гипериона представляет собой единственный известный в Солнечной системе пример быстрого хаотического поведения. На самом деле, как показал Дж.Уисдом, все спутники иррегулярной формы на протяжении своей эволюции попадали в область неустойчивости и совершали хаотические движения, когда ни находились в такой точке орбиты, в которой возможен захват в резонансное состояние.
Динамика хаоса играет важную роль в эволюции движения других малых тел Солнечной системы: астероидов и комет. Их движение было по-настоящему изучено только в последние десятилетия, когда появились соответствующие наблюдательные средства, позволившие прежде всего очень точно определять параметры орбит малых тел. Эти исследования привели к лучшему пониманию процесса формирования планет. На самом деле малые тела являются неиспользованными во время «строительных работ» «кирпичиками». В этом плане особенно показательны астероиды. По современным теориям, в результате слипания газа и пыли первичных межзвездных облаков между орбитами Марса и Юпитера образовались сгустки линейными размерами порядка 100 км., двигавшиеся по почти круговым орбитам с очень близкими скоростями. Казалось бы, есть все условия для последующего слипания этих сгустков в крупную планету. Однако под влиянием тяготения Юпитера в эту зону вбрасывались другие сгустки, которые, как шар при игре в кегли, оказывали разрушающее воздействие.
В результате, как теоретически показано в модели В.Сафонова, все осколки должны были образовать диск в области пояса астероидов на расстоянии порядка 2,5 а.е. Поскольку соударения сгустков в этой модели предполагались случайными, распределение орбит астероидов в диске должно быть равномерным. Однако анализ известных орбит показывает, что это не так. В главном, сильно населенном поясе астероидов ( на расстоянии 2 – 3 а.е. от Солнца) существуют узкие зоны (лакуны Кирквуда), в которых не обнаружено практически ни одного астероида. Эти зоны соседствуют с достаточно населенными областями, в которых наблюдаются семейства астероидов. С другой стороны, внешняя зона астероидов (от 3,3 до 5,2 а.е., т.е. до орбиты Юпитера) практически пуста, за исключением нескольких очень компактных групп этих тел. Если для каждой наблюдаемой орбиты вычислить период обращения астероида по ней, то обнаруживается замечательное явление. Все аномальные распределения орбит соответствуют резонансной ситуации, когда отношение периода вращения астероида к периоду вращения Юпитера равно 1:1; 1:2; 1:3 и т.д.
Самым загадочным в поведении астероидов является существование лакун Кирквуда. Для объяснения этого факта предлагались различные гипотезы. Уравнения движения астероида под действием сил притяжения со стороны Солнца и Юпитера являются нелинейными и неинтегрируемыми. Возникает соблазнительная идея отнести наблюдаемые лакуны на счет неустойчивостей, почти всегда присутствующих вблизи резонанса. Однако действительность оказывается сложнее: существование компактных групп астероидов во внешнем поясе подтверждает, что в некоторых резонансных ситуациях астероиды все же могут устойчиво находиться.
Прорыв в понимании проблемы стал возможен после замечательного открытия Б.Чирикова, связанного с исследованием динамики частиц в ускорителях. Воспользовавшись результатами Чирикова, Дж.Уисдом в 1983 г. сумел смоделировать влияние Юпитера, заменив его постоянное тяготение серией отдельных импульсов, действующих на астероид в определенных местах орбиты в течение определенного времени. В этом случае задачу о влиянии одного импульса удается решить аналитически, после чего можно рассчитать и всю орбиту. Уисдом доказал, что орбиты, близкие к резонансу 3:1, неустойчивы и меняются очень своеобразно. В течение десятков или даже сотен тысяч лет орбита с умеренным эксцентриситетом не меняется. Затем внезапно эксцентриситет быстро растет от значения 0,1 до 0,4, после чего опять уменьшается. Такие всплески эксцентриситета повторяются случайным образом.
На рисунке 7 изображены результаты численного моделирования эволюции орбиты астероида, отвечающей резонансу 1:3. Они демонстрируют, что на протяжении миллионов лет возникают сильные прерывистые всплески значений эксцентриситета орбиты. В период такого всплеска астероид может пересечь орбиту Марса и под влиянием тяготения этой планеты оказаться выброшенным из устойчивой зоны, превратившись в астероид-бродягу. Благодаря этому возможно образование лакун в распределении орбит астероидов.
