| Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью |
|векторов и комплексных чисел. |
|Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с |
|тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который|
|вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного |
|тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития |
|производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям |
|экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления |
|электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. |
|Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с |
|последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус |
|электроснабжения. |
|В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии |
|осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – |
|токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи|
|и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате |
|изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, |
|которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, |
|усложняя их анализ. |
|Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), |
|изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки |
|времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший |
|промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для |
|периодического тока имеем |
|[pic], |
| (1) |
| |
|Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц): |
|[pic], |
|(2) |
| |
|Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц – в |
|системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до |
|сверхвысоких (3000 ё 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, |
|радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц. |
|Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать |
|строчной буквой: |
|i - мгновенное значение тока [pic]; |
|u – мгновенное значение напряжения [pic]; |
|е - мгновенное значение ЭДС [pic]; |
|р- мгновенное значение мощности [pic]. |
|Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой |
|(ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m). |
|[pic] - амплитуда тока; |
|[pic] - амплитуда напряжения; |
|[pic] - амплитуда ЭДС. |
|Действующее значение переменного тока |
|Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за |
|время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект,|
|что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока: |
|[pic], |
|(3) |
| |
|Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. |
| |
|Синусоидально изменяющийся ток |
|Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил |
|синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то |
|преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять |
|производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только |
|при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых |
|напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального |
|тока является ключом к пониманию теории других цепей. |
|Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений |
|и токов на плоскости декартовых координат |
|Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи |
|уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой |
|плоскости или комплексными числами. |
|Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют |
|уравнения: |
|[pic][pic]. |
|[pic] |
|Значения аргументов синусоидальных функций [pic] и [pic] называются фазами синусоид, |
|а значение фазы в начальный момент времени (t=0): [pic] и [pic] - начальной фазой ( |
|[pic][pic]). |
|Величину [pic], характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой |
|частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на |
|[pic] рад., то угловая частота есть [pic], где f– частота. |
|При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их |
|фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз. |
|Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз: |
|[pic]. |
| |
|Векторное изображение синусоидально |
|изменяющихся величин |
|На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю |
|амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой |
|стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, |
|равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. |
|Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 |
|(рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, |
|напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм|
|векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из |
|равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система |
|декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким |
|образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы |
|нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает|
|расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение |
|и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием |
|соответствующих векторов. |
| |
|[pic] |
| |
|Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток [pic] равен сумме токов|
|[pic] и [pic] двух ветвей: |
|[pic]. |
|Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением |
|[pic]и[pic] . |
|Результирующий ток также будет синусоидален: |
|[pic]. |
|Определение амплитуды[pic] и начальной фазы [pic] этого тока путем соответствующих |
|тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, |
|особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще |
|это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные |
|положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения |
|токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их |
|взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным |
|[pic]. |
|Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному |
|значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: |
|[pic]. |
|Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения [pic] и |
|[pic] из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения |
|[pic] путем формального учета угловой частоты: [pic]. |
| |
|Представление синусоидальных ЭДС, напряжений |
|и токов комплексными числами |
|Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с |
|комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. |
|Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное |
|число, которое может быть записано в : |
|показательной [pic] |
|тригонометрической [pic] или |
|алгебраической [pic] - формах. |
|Например, ЭДС [pic], изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует |
|комплексное число |
|[pic]. |
|Фазовый угол [pic] определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы |
|координат, как |
|[pic] . |
|В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного |
|числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС: |
|[pic], |
|(4) |
| |
| |
|Комплексное число [pic] удобно представить в виде произведения двух комплексных |
|чисел: |
|[pic], |
|(5) |
| |
| |
|Параметр [pic], соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со |
|скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: [pic], а |
|параметр [pic] - комплексом мгновенного значения. |
|Параметр [pic]является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального|
|положения вектора. |
|Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота [pic] есть его поворот |
|относительно первоначального положения на угол ±a. |
|Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без |
|знака “j” произведения комплекса амплитуды [pic] и оператора поворота [pic]: |
|[pic]. |
|Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с |
|помощью формулы Эйлера: |
|[pic], |
|(6) |
| |
|Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в |
|алгебраической форме: |
|[pic], |
|- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу [pic], т.е.|
|угол, который образует вектор [pic] с положительной полуосью +1: |
|[pic]. |
|Тогда мгновенное значение напряжения: |
|[pic], |
|где [pic]. |
|При записи выражения для определенности было принято, что [pic], т.е. что |
|изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если [pic], то при |
|[pic] (второй квадрант) |
|[pic], |
|(7) |
| |
|а при [pic] (третий квадрант) |
|[pic] |
|(8) |
| |
|или |
|[pic] |
|(9) |
| |
|Если задано мгновенное значение тока в виде [pic], то комплексную амплитуду |
|записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле |
|Эйлера переходят к алгебраической форме: |
|[pic]. |
|Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться |
|алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная |
|форма. |
|Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над |
|векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды|
|результирующего тока [pic] по рис. 5 получим: |
|[pic] |
|где [pic]; |
|[pic]. |
| |
|Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов |
|В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока |
|запишем: |
|[pic]. |
|Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким |
|образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих |
|амплитудных значений в [pic] раз: |
|[pic]. |
|(10) |
| |
|Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока |
|обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с |
|предыдущим введем понятие комплекса действующего значения |
|[pic]. |
| |
|Литература |
|1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, |
|А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические |
|цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных |
|специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. |
|Контрольные вопросы и задачи |
|1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью |
|векторов? |
|2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с |
|использованием комплексных чисел? |
|3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью |
|комплексов по сравнению с их векторным представлением? |
|4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока [pic] записать соответствующие |
|им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений. |
|5. На рис. 5 [pic], а [pic]. Определить [pic]. |
|Ответ: [pic] |
