Методы оценки температурного состояния
Содержание
1. Методы оценки температурного состояния
2. Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в
системе, включающей прошивную оправку
2.1 Условия однозначности или краевые условия задачи
2.2 Математическая формулировка задачи расчета температурного поля оправки
3. Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена
4. Методы оценки термонапряженного состояния
4.1 Физические основы возникновения термических напряжений
4.2 Формулировка задач термоупругости
5. Расчет температурных полей и полей напряжений в оправке при циклическом режиме работы
6. Износостойкость прошивных оправок
7. Основные выводы из полученных результатов
Список использованных источников
1. Методы оценки температурного состояния
На начальном этапе объектом исследования является тепловое поле, перенос тепла в системе тел. Тепловое поле на данный момент времени t определяется распределением температуры по телу, т.е. функцией , где ) - декартовы координаты. Передача тепла может осуществляться теплопроводностью, конвекцией или излучением. В рассматриваемой задаче происходит сложный теплообмен, т.е. передача тепла осуществляется различными способами. Необратимый процесс теплопроводности описывается феноменологическим законом Фурье.
Температурное поле может быть стационарным, в этом случае температура во всех точках тела не зависит от времени, и нестационарным. Если температура изменяется только по одной пространственной координате, то температурное поле одномерное. Если по двум координатам - двухмерное.
Для оценки температурного состояния прошивной оправки в процессе прошивки, то есть для математического определения температурного поля, необходимо решить дифференциальные уравнения теплового состояния (уравнения теплопроводности). Принимается допущение, что температурное поле прошивной оправки является осесимметричным. Рассматривается двумерная задача теплопроводности (все величины зависят от двух координат).
При решении задач теплопроводности составляют сеточные уравнения. Методы решения сеточных уравнений в задачах теплопроводности делятся на прямые (метод Гаусса, метод квадратного корня или метод Холецкого, метод алгебраической прогонки, метод редукции, метод разделения переменных), итерационные (двухслойный итерационный метод, диагональный оператор B, треугольный итерационный метод и др.) и численные.
Приближенное решение задачи теплопроводности осуществляется численными методами (сеточными и проекционными). Сеточные (разностные) методы основаны на переходе от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. В проекционных методах функции непрерывного аргумента приближаются также функциями непрерывного аргумента. Также существуют и значительно распространены проекционно-сеточные методы (метод конечных элементов). Этот класс методов определяется специальным выбором элементов (конечных элементов).
Сеточные методы являются наиболее универсальным способом решения линейных задач в областях сложной формы, которые не всегда можно решить классическим способом. При решении составляется семейство разностных задач, которое ставится в соответствие непрерывной задаче. Это семейство называют разностной схемой. Разностные схемы применяются как для стационарных, так и для нестационарных задач, но в случаях стационарной и нестационарной теплопередач имеются некоторые различия в разностных схемах. Задача состоит в получении приближенного решения с некоторой заданной точностью. Это достигается на пути перехода от непрерывной задачи к дискретной. При построении дискретной задачи, т.е. при аппроксимации уравнений и граничных условий требуется сохранить за разностным решением характеристики искомого решения. Примером является свойство консервативности - выполнение законов сохранения и для разностной задачи. Консервативные схемы - это разностные схемы, выполняющие законы сохранения на сетке. В отличие от консервативных схем, неконсервативные схемы расходятся в случае разрывного коэффициента теплопроводности. Вторым примером служит свойство монотонности - выполнение принципа максимума и минимума разностного решения. Разностное решение должно сходиться к точному при измельчении сетки.
Консервативная разностная схема строится в одномерном или двумерном случае. Конечно элементная схема строится в двумерном плоском случае.
Далее рассматриваются способы построения разностных схем при решении задач теплопроводности численными методами.
Разностные схемы для задачи стационарной теплопроводности.
В случае стационарного температурного поля перенос тепла осуществляется теплопроводностью, а температура описывается эллиптическим уравнением второго порядка с определенными краевыми условиями.
Для применения разностных методов в области изменения переменных G вводят сетку. Все производные и краевые условия заменяют разностями значений функции в узлах сетки. При написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки берется одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию. Эта конфигурация узлов, которые используются для построения разностного оператора, называется шаблоном разностной схемы. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а все остальные узлы - нерегулярными. На рис.1.1 показан пример прямоугольной равномерной сетки. Здесь: - переменные.
Рис.1.1 Пример прямоугольной равномерной сетки, построенной для прямоугольной области изменения переменных G (x,t).
Для нерегулярных областей в ряде случаев удается построить согласованную сетку, которая образована узлами обычной прямоугольной неравномерной сетки с узлами, лежащими на границе (эти узлы согласованы). Пример согласованной разностной сетки для нерегулярной области приведен на рис.1.2
Рис.1.2 Пример нерегулярной согласованной разностной сетки.
Исходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется сеточной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть система линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточной функции.
Другой способ построения разностных схем основан на методе конечных элементов.
Разностная схема метода конечных элементов.
Построение разностных схем может осуществляться на основе метода конечных элементов. Для построения конечномерного подпространства исходная расчетная область разбивается на некоторые элементарные ячейки. В двумерном случае в качестве таковых наиболее подходящими являются треугольники, причем внутри таких ячеек приближенное решение является линейной функцией. Такого вида сетки выбраны в связи с возможностью решения задач в областях достаточно произвольной формы. На рис.1.3 показана равномерная сетка с шагом .
Рис.1.3 Равномерная конечноэлементная сетка, состоящая из треугольников, применяемая в методе конечных элементов.
В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек, которые называют узлами (узловыми точками). Непрерывная величина аппроксимируется моделью, состоящей из отдельных элементов. На каждом из этих элементов исследуемая непрерывная величина аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией. Выбираются аппроксимирующие базисные функции в виде кусочных полиномов малой степени или полиномов более высоких степеней (квадратичных, кубических и др.) Полином, связанный с данным элементом называют функцией элемента. Далее строится разностная схема.
Разностные схемы для нестационарных задач.
Нестационарные тепловые поля описываются параболическими уравнениями второго порядка. Разностные схемы составляются многослойными. Например, при использовании двухслойной разностной схемы в разностное уравнение входят значения на двух временных слоях.
Для нестационарных задач в области вводится пространственная сетка, с которой связывается некоторое конечномерное пространство. Вводится сетка и по времени, для простоты, равномерная. Приближенное решение рассматривается как функция дискретного аргумента. Операторно-разностная схема связывает разностное решение на нескольких временных слоях. Такая разностная схема является многослойной.
У данной задачи есть и начальные, и граничные условия, поэтому задача является нестационарной (смешанной) краевой. Задача имеет нелинейный характер, т.е. теплофизические свойства среды зависят от температуры и граничные условия нелинейны.
Метод конечных разностей.
В качестве метода решения системы дифференциальных уравнений выбирается численный математический метод конечных разностей - широко известный и простейший метод интерполяции. Метод конечных разностей означает по сути обратный переход от дифференциальной модели к интегральной. При осуществлении данной методики строится конечно-разностная сетка и записываются конечно-разностные аналоги дифференциальных уравнений теплопроводности (разностная схема). Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая градиентным методом покоординатного спуска (Гаусса-Зейделя), являющимся классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений. Неявной она является потому, что содержит несколько неизвестных значений функции на новом слое. Это означает, что значение функции нельзя явно выразить через значения функции на данном слое. Такая схема является безусловно устойчивой. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое. Решение в узлах сетки получается приближенным (разностным). Поскольку одна из переменных имеет физический смысл времени t, то сетка строится так, чтобы среди ее линий были линии t=tm, где m - номер индекса дискретного момента времени. То есть переменная t не непрерывна, а увеличивается на дискретное значение. Решение численной задачи получается в виде таблицы.
Экономичные разностные схемы нестационарной теплопроводности.
Поскольку при использовании неявных схем вычислительные затраты высоки, применяют методы реализации разностных схем, которые по вычислительной реализации были бы аналогичны явным схемам. К таким методам относятся явный итерационный метод, метод переменных направлений, попеременно-треугольный метод, итерационный метод с эллиптическим оператором B. Для явных схем число арифметических операций, приходящихся на один узел сетки не зависит от общего числа узлов. Разностные схемы метода переменных направлений основываются на представлении оператора по пространственным переменным в виде суммы операторов, каждый из которых является одномерным [1], [2].
