Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности начинается с задания краевых условий и выбора систем координат. Далее рассматривается методика составления краевых условий данной задачи.
2. Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в
системе, включающей прошивную оправку
2.1 Условия однозначности или краевые условия задачи
Геометрические условия.
Оправка - это сплошное тело сложной формы (при решении задачи термоупругости не рассматривается возможное наличие в оправке специальных каналов для подачи охлаждающей жидкости, хотя они часто применяются на практике). Диаметр оправки зависит от внутреннего диаметра гильзы. Оправка подразделяется на участки различной геометрической формы: сферическую часть, коническую часть до пережима, коническую часть после пережима и часть штока, примыкающую к оправке. Длины этих участков рассчитываются по известным формулам.
Постановка краевой задачи зависит от выбора системы координат. Простейший подход к решению задач в нерегулярных областях состоит в использовании криволинейных координат, в которых расчетная область становится регулярной (понятия регулярной и нерегулярной областей были рассмотрены в разделе 1). Для сферического участка I принята сферическая система координат. Для участков II, III, IV принята цилиндрическая система координат.
Диаметр оправки на третьем участке равен:
,
где - внутренний диаметр гильзы. Диаметр полусферы равен:
.
Длина первого участка:
.
Длина второго участка:
,
где - конусность конической части оправки ().
Длина третьего участка:
.
Площадь поперечного сечения гильзы на выходе при заданных внутреннем диаметре гильзы и толщине стенки трубы рассчитывается по формуле:
.
Площадь поперечного сечения металла в зазоре валок - оправка определяется как:
,
где и - текущее значение радиуса валка и радиуса оправки, вычисляемое по следующим тригонометрическим соотношениям:
для сферической части оправки
;
для конической части оправки до пережима
;
для конической части оправки после пережима
,
где - радиус валка в сечении носка оправки; - радиус сферической части оправки; - угол от оси сферы до расчетного сечения сферической части оправки; - угол входного конуса валка (3°...4°); - угол выходного конуса валка (3°30'...6°); - угол конусности оправки; - текущая длина второго участка оправки; - выдвижение оправки за пережим.
На поверхности оправки образуется слой окалины. Толщина окалинообразующего слоя на поверхности оправки .
Физические условия.
При прошивке происходит теплообмен в системе тел: валки - линейки - гильза - слой окалины - оправка. Температура валков и линеек принимается постоянной. Источниками тепла являются нагретая заготовка и внутренние источники (деформационный разогрев, разогрев за счет сил трения). Тепловая энергия в процессе прошивки поступают на разогрев технологического инструмента. В период между прошивками оправка охлаждается на воздухе или в проточной воде.
Прошивная оправка является сплошным однородным изотропным телом. Ее теплопроводность является скалярной величиной. В качестве материала оправки выбирается сталь марки 30Х2МФА и 38ХНЗМФА. Физическими параметрами оправки являются плотность , удельная массовая теплоемкость оправки , коэффициент теплопроводности материала оправки . Внутренние источники тепла в оправке отсутствуют.
Время нагрева оправки при прошивке определяется по скорости движения металла и заданной длине гильзы :
.
Условия на границе металл - оправка.
Теплофизическими свойствами металла являются плотность , удельная массовая теплоемкость металла , коэффициент теплопроводности металла . При деформации металла происходит выделение теплоты.
Для определения кондуктивного и лучистого тепловых потоков на границе контакта металл - оправка необходимо предварительно рассчитать температуру металла в зазоре между валками, линейками и прошивной оправкой. Эта температура деформируемого металла в процессе прошивки зависит, с одной стороны, от тепловыделений за счет работы сил трения и при формоизменении металла, а с другой стороны, от теплоотдачи к оправке, валкам, линейкам и окружающей среде. В общем случае среднюю температуру металла за время одной прошивки можно рассчитать по формуле:
,
где - средняя температура металла на входе в прошивной стан, рассчитывается по известному температурному полю заготовки перед прошивкой:
,
где - объем заготовки; - время охлаждения заготовки на воздухе перед станом; - среднее повышение температуры металла при прошивке, которое определяется из уравнения теплового баланса очага деформации:
,
где: - удельная объемная теплоемкость металла; - объем очага деформации; - общее количество энергии, затраченной на процесс деформирования; - коэффициент выхода теплоты; - теплота, поступающая в металл за счет работы сил трения; - тепловые потери очага деформации в окружающую среду и технологический инструмент; - поправочный коэффициент, полученный экспериментально.
Общее количество энергии на деформацию определяется по теоретической формуле П.И. Полухина:
,
где и - радиус заготовки до прошивки и радиус гильзы; - толщина стенки гильзы; - сопротивление металла деформированию, рассчитывается по эмпирической формуле
,
- сопротивление деформации, выбираемое по величине среднего единичного обжатия; - обжатие в пережиме.
Теплота, поступающая в металл при трении, рассчитывается по формуле:
,
в которой - коэффициент, учитывающий долю теплоты, поступающей на оправку от трения; - плотность теплового потока за счет работы сил трения; - коэффициент контакта; - площадь поверхности металла под оправкой; - время прошивки.
Тепловые потери металла в очаге деформации за время прошивки составляют величину:
,
где , и - площади поверхностей контакта металла с валками, линейками и окружающей средой; , , , - плотности тепловых потоков; - плотность потока тепловых потерь в окружающую среду; и - плотности потоков тепловых потерь к валкам и линейкам рассчитываются при допущении квазистационарного режима теплопроводности с учетом температурного сопротивления слоя окалины:
,
где и - температура валков и линеек в стационарном режиме работы.
Кондуктивный теплообмен между металлом и оправкой через слой окалины в месте контакта или через воздушный зазор, в первом приближении, рассчитывается при допущении квазистационарного режима теплообмена.
Через слой окалины:
;
через воздушный зазор:
,
где - средняя температура металла при прошивке; - температура поверхности оправки; , - толщина приграничного слоя металла и оправки; , - толщина окалины и воздушной прослойки; , , , - коэффициенты теплопроводности деформируемого металла, оправки, окалины и воздуха соответственно.
Плотность лучистого теплового потока в воздушном зазоре находится при допущении равенства поверхностей, расположенных по обе стороны зазора. Учитывая, что воздух является диатермичной средой, получим
,
где - постоянная Стефана - Больцмана; - приведенная степень черноты. Плотность теплового потока, выделяемого при работе сил трения, определяется по формуле:
,
где - касательное напряжение трения; - скорость перемещения металла вдоль оси оправки (оси Oz).
Касательное напряжение трения рассчитывается по формуле
,
в которой - коэффициент трения; Р - сила нормального давления на оправку.
Для конических оправок различных геометрических размеров значения давлений, сохраняются на носке, в конце сферической части, в пережиме и в конце третьего участка.
Скорость течения металла в рассматриваемом расчетном сечении находится из уравнения неразрывности, которое при некотором допущении имеет вид:
,
где - средняя скорость перемещения металла в сечении между валком и оправкой; - скорость движения гильзы на выходе из зазора. Скорость выхода гильзы определена экспериментально в зависимости от угла подачи .
Величина деформационного разогрева зависит не только от величины внутренних тепловыделений при деформации, но и от интенсивности теплообмена с окружающей средой и технологическим инструментом, поэтому для ее определения необходимо применить метод итераций. В качестве первого приближения рассчитывается при допущении равенства нулю тепловых потоков и .
Условия на границе металл - окалина.
Окалинообразующий слой очень существенно влияет на температурное поле оправки. Теплофизические свойства окалины характеризуются коэффициентом теплопроводности окалины . На границе металл-окалина за счет действия сил трения происходит выделение теплоты. Между слоем окалины и оправкой происходит кондуктивный теплообмен (теплопроводностью). Между слоем окалины и металлом осуществляется как кондуктивный теплообмен, так и лучистый теплообмен через воздушную среду, заполняющую прослойку. При этом воздух считается диатермической средой, то есть прозрачной для лучистой энергии. Теплофизические свойства воздуха характеризуются коэффициентом теплопроводности воздуха .
Начальные (временные) условия.
Рассматриваемый процесс является нестационарным, то есть в уравнения входит время в качестве переменной. Для такого процесса необходимы начальные условия, которые состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени.
При первой прошивке начальное поле температур задается равномерным и равным температуре окружающей среды :
.
При охлаждении оправки в качестве начального условия принимается температурное поле, полученное в конце нагрева оправки (в конце прошивки):
.
Для второго и последующих циклов нагрева и охлаждения за начальное условие также принимается температурное поле предыдущего процесса теплообмена.
Граничные условия (на границе в нерегулярных узлах).
Применяются условия второго рода (условия Неймана): на поверхности задается плотность теплового потока как функция от температуры и координаты .
Граничные условия на границе металл - оправка при нагреве.
