Нехай потенційна енергія системи U як функція узагальнених координат qi (i = 1, 2, .,., s) має мінімум при qi=qi0. Уводячи малі зсуви
xi = qi – qi0 (3,1)
і розкладаючи по них U з точністю до членів другого порядку, одержимо потенційну енергію у вигляді позитивно певної квадратичної форми
(3, 2)
де ми знову відраховуємо потенційну енергію від її мінімального значення. Оскільки коефіцієнти kik і kki входять в (3, 2) помноженими на ту саму величину xi xk, те ясно, що їх можна завжди вважати симетричними по своїх індексах
У кінетичній же енергії, що має в загальному випадку вид
думаємо в коефіцієнтах qi = qi0 і, позначаючи постійні aik(qo) за допомогою mik , одержуємо її у вигляді позитивно певної квадратичної форми
(3,3)
Коефіцієнти mlk теж можна завжди вважати симетричними по індексах
mik = mki
Таким чином, лагранжева функція системи, що робить вільні малі коливання:
(3, 4)
Складемо тепер рівняння руху. Для визначення вхідних у них похідних напишемо повний диференціал функції Лагранжа
Оскільки величина суми не залежить, зрозуміло, від позначення індексів підсумовування, міняємо в першому й третьому членах у дужках i на k, a k на i; з огляду на при цьому симетричність коефіцієнтів mik і kik, одержимо:
Звідси видно, що
Тому рівняння Лагранжа
(3,5)
Вони являють собою систему s(i = l, 2, ... , s) лінійних однорідних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами.
За загальними правилами рішення таких рівнянь шукаємо s невідомих функцій xk(t) у вигляді
(3,6)
де Аk — деякі, поки невизначені, постійні. Підставляючи (3,6) у систему (3,5), одержуємо по скороченні на систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яким повинні задовольняти постійні Аk:
(3,7)
Для того щоб ця система мала відмінні від нуля рішення, повинен звертатися в нуль її визначник
(3,8)
Рівняння (3,8) -—так зване характеристичне рівняння — являє собою рівняння ступеня s відносно ω2. Воно має в загальному випадку s різних речовинних позитивних корінь ω²a,
а=1, 2, … , s (в окремих випадках деякі із цих корінь можуть збігатися). Певні в такий спосіб величини ωа називаються власними частотами системи.
Речовинність і позитивність корінь рівняння (3,8) заздалегідь очевидні вже з фізичних міркувань. Дійсно, наявність в ω мнимої частини означало б наявність у тимчасовій залежності координат хk (3,6) (а з ними й швидкостей xk) експоненціальне убутного або експоненціальне зростаючого множника. Але наявність такого множника в цьому випадку неприпустимо, тому що воно привело б до зміни згодом сповненої енергії E=U+T системи в суперечності із законом її збереження.
У т же самому можна переконатися й чисто математичним шляхом. Помноживши рівняння (3,7) на й підсумовував потім по i, одержимо:
звідки
Квадратичні форми в чисельнику й знаменнику цього вираження речовинні в силу речовинності й симетричності коефіцієнтів kik і mik , дійсно,
Вони також істотно позитивні, а тому позитивно й ω2.
Після того як частоти ωа знайдені, підставляючи кожне з них у рівняння (3,7), можна знайти відповідні значення коефіцієнтів Аk. Якщо у всіх кореньі ωа характеристичного рівняння різні, те, як відомо, коефіцієнти Ak пропорційні мінорам визначника (3,8), у якому ω замінена відповідним значенням ωа, позначимо ці мінори через ∆ka. Приватне рішення системи диференціальних рівнянь (3,5) має, отже, вид
де Са— довільна (комплексна) постійна.
Загальне ж рішення дається сумою всіх s часток рішень. Переходячи до речовинної частини, напишемо його у вигляді
(3,9)
Де ми ввели позначення
(3,10)
Таким чином, зміна кожної з координат системи згодом являє собою накладення s простих періодичних коливань з довільними амплітудами й фазами, які мають цілком певні частоти.
Природно виникає питання, чи не можна вибрати узагальнені координати таким чином, щоб кожна з них робила тільки одне просте коливання? Сама форма загального інтеграла (3,9) указує шлях до рішення цього завдання.
Справді, розглядаючи s співвідношень (3,9) як систему рівнянь із s невідомими величинами Θа, ми можемо, дозволивши цю систему, виразити величини Θ1, Θ2, …, Θs через координати x1, x2, ..., xs. Отже, величини Θа можна розглядати як нові узагальнені координати. Ці координати називають нормальними (або головними), а чинені ними прості періодичні коливання — нормальними коливаннями системи.
Нормальні координати Θа задовольняють, як це виявляється з їхнього визначення, рівнянням
(3,11)
Це значить, що в нормальних координатах рівняння рухи розпадаються на s незалежних друг від друга рівнянь. Прискорення кожної нормальної координати залежить тільки від значення цієї ж координати, і для повного визначення її тимчасової залежності треба знати початкові значення тільки її ж самої й відповідної їй швидкості. Інакше кажучи, нормальні коливання системи повністю незалежні.
Зі сказаного очевидно, що функція Лагранжа, виражена через нормальні координати, розпадається на суму виражень, кожне з яких відповідає одномірному коливанню з однієї із частот ωа, тобто має вигляд
(3,12)
де та — позитивні постійні. З математичної точки зору це означає, що перетворенням (3,9) обидві квадратичні форми - кінетична енергія (3,3) і потенційна (3,2) - одночасно приводяться до діагонального виду.
Звичайно нормальні координати вибирають таким чином, щоб коефіцієнти при квадратах швидкостей у функції Лагранжа були рівні 1/2. Для цього досить визначити нормальні координати (позначимо їх тепер Qa ) рівностями
(3.13)
Тоді
Все викладене мало міняється у випадку, коли серед корінь характеристичного рівняння є кратні коріння. Загальний вид (3,9), (3,10) інтеграли рівнянь рухів залишається таким же (з тим же числом s членів) з тією лише різницею, що відповідним кратним частотам коефіцієнти ∆kа вже не є мінорами визначника, які, як відомо, звертаються в цьому випадку в нуль.
Кожної кратної частоті відповідає стільки різних нормальних координат, яка ступінь кратності, але вибір цих нормальних координат не однозначний. Оскільки в кінетичну й потенційну енергії нормальні координати (з однаковим ωа) входять у вигляді однаково, що перетворяться сум, можна піддати будь-якому лінійному перетворенню, що залишає інваріантної суму квадратів.
Досить просте знаходження нормальних координат для тривимірних коливань однієї матеріальної крапки, що перебуває в постійному зовнішнім полі. Поміщаючи початок декартової системи координат у крапку мінімуму потенційної енергії U(x,y,z), ми одержимо останню у вигляді квадратичної форми змінних х, в, z, а кінетична енергія
(т — маса часток) не залежить від вибору напрямку координатних осей.
Тому відповідним поворотом осей треба тільки привести до діагонального виду потенційну енергію. Тоді
(3,14)
і коливання уздовж осей х, в, z є головними із частотами
В окремому випадку центральносиметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) ці три частоти збігаються.
Використання нормальних координат дає можливість привести завдання про змушені коливання системи з декількома ступенями волі до завдань про одномірні змушені коливання. Функція Лагранжа системи з обліком діючих на неї змінних зовнішніх сил має вигляд
(3,15)
де L0 — лагранжева функція вільних коливань. Уводячи замість координат хk нормальні координати, одержимо:
(3.16)
де уведене позначення
Відповідно рівняння руху
будуть містити лише по одній невідомій функції Qa(t).
Загасаючі коливання
Дотепер ми завжди мали на увазі, що рух тіл відбувається в порожнечі або що впливом середовища на рух можна зневажити. У дійсності при русі тіла в середовищі остання чинить опір, що прагне сповільнити рух. Енергія тіла, що рухається, при цьому зрештою переходить у тепло.
Процес руху в цих умовах уже не є чисто механічним процесом, а його розгляд вимагає обліку руху самого середовища й внутрішнього теплового стану як середовища, так і тіла. Зокрема, уже не можна затверджувати в загальному випадку, що прискорення тіла, що рухається, є функцією лише від його координат і швидкості в цей момент часу, тобто не існує рівнянь руху в тому розумінні, який вони мають у механіку. Таким чином, завдання про рух тіла в середовищі вже не є завданням механіки.
Існує, однак, певна категорія явищ, коли рух у середовищі може бути приблизно описане за допомогою механічних рівнянь руху шляхом введення в них деяких додаткових членів. Сюди ставляться коливання із частотами, малими в порівнянні із частотами, характерними для внутрішніх дисипативних процесів у середовищі. При виконанні цієї умови можна вважати, що на тіло діє сила тертя, що залежить (для заданого однорідного середовища) тільки від його швидкості.
Якщо до того ж ця швидкість досить мала, то можна розкласти силу тертя по її ступенях. Нульовий член розкладання дорівнює нулю, оскільки на нерухливе тіло не діє ніякої сили тертя, і перший незникаючий член пропорційний швидкості. Таким чином, узагальнену силу тертя fтр, що діє на систему, що робить одномірні малі коливання з узагальненою координатою х, можна написати у вигляді
де а — позитивний коефіцієнт, а знак мінус показує, що сила діє убік, протилежну швидкості. Додаючи цю силу в праву сторону рівняння руху, одержимо :
(4.1)
Розділимо його на m і введемо позначення
(4.2)
ω0 є частота вільних коливань системи під час відсутності тертя. Величина λ називається коефіцієнтом загасання. Таким чином, маємо рівняння
(4.3)
Дотримуючись загальних правил рішення лінійних рівнянь із постійними коефіцієнтами, думаємо х — ert і знаходимо характеристичне рівняння
Загальне рішення рівняння (4.3) є
Тут варто розрізняти два випадки.
Якщо λ < ω0, то ми маємо два комплексно сполучених значення r. Загальне рішення рівняння рухи може бути представлене в цьому випадку, як
де А — довільна комплексна постійна. Інакше можна написати:
