(4.4)
де а й α — речовинні постійні. Рух, що виражається цими формулами, являє собою так звані загасаючі коливання. Його можна розглядати як гармонійні коливання з експоненціальне убутною амплітудою. Швидкість убування амплітуди визначається показником ?, а частота ? коливань менше частоти вільних коливань під час відсутності тертя; при ?<<?0 різниця між ? і ?0- другого порядку малості. Зменшення частоти при терті випливало очікувати заздалегідь, оскільки тертя взагалі затримує рух.
Якщо λ<<ω0 , то за час одного періоду 2π/ω амплітуда загасаючого коливання майже не міняється. У цьому випадку має сенс розглядати середні (за період) значення квадратів координати й швидкості, зневажаючи при усередненні зміною множника е-е-λt. Ці середні квадрати, мабуть, пропорційні е-2λt. Тому й енергія системи в середньому убуває за законом
(4.5)
де Е0 — початкове значення енергії.
Нехай тепер λ > ω0. Тоді обоє значення r речовинні, причому обоє негативні. Загальний вид рішення
(4.6)
Ми бачимо, що в цьому випадку, що виникає при досить великому терті, рух складається в убуванні |x|, тобто в асимптотичному (при t → ∞) наближенні до положення рівноваги. Цей тип руху називають аперіодичним загасанням.
Нарешті, в особливому випадку, коли λ = ω0 , характеристичне рівняння має всього один (подвійний) корінь r = ― λ . Як відомо, загальне рішення диференціального рівняння має в цьому випадку вид
(4.7)
Це - особливий випадок аперіодичного загасання, Воно теж не має коливального характеру.
Для системи з багатьма ступенями волі узагальнені сили тертя, що відповідають координатам xi, є лінійними функціями швидкостей виду
(4.8)
Із чисто механічних міркувань не можна зробити ніяких висновків про властивості симетрії коефіцієнтів аik по індексах i і k. Методами ж статистичної фізики можна показати, що завжди
aik = aki. (4.9)
Тому вираження (4.8) можуть бути написані у вигляді похідних
(4.10)
від квадратичної форми
(4.11)
називаної дисипативною функцією.
Сили (4.10) повинні бути додані до правої сторони рівнянь Лагранжа
(4.12)
Дисипативна функція має сама по собі важливий фізичний зміст - нею визначається інтенсивність дисипації енергії в системі. У цьому легко переконатися, обчисливши похідну за часом від механічної енергії системи. Маємо:
Оскільки F— квадратична функція швидкостей, то в силу теореми Ейлера про однорідні функції сума в правій стороні рівності дорівнює 2F. Таким чином,
(4.13)
т е. швидкість зміни енергії системи дається подвоєної дисипативної функцією. Тому що дисипативні процеси приводять до зменшення енергії, то повинне бути завжди F > 0, тобто квадратична форма (4.11) істотно позитивна.
Рівняння малих коливань при наявності тертя виходять додаванням сил (4.8) у праву сторону рівнянь (3.5):
(4.14)
Поклавши в цих рівняннях
xk = Akert,
одержимо по скороченні на ert систему лінійних алгебраїчних рівнянь для постійних Ak
(4.15)
Дорівнявши нулю визначник цієї системи, знайдемо характеристичне рівняння, що визначає значення r:
(4.16)
Це — рівняння ступеня 2s відносно r. Оскільки всі його коефіцієнти речовинні, те його коріння або речовинні, або попарно комплексно сполучені. При цьому речовинні коріння неодмінно негативні, а комплексні мають негативну речовинну частину. У противному випадку координати й швидкості, а з ними й енергія системи експоненціальне зростали б згодом, тим часом як наявність дисипативних сил повинне приводити до зменшення енергії.
Змушені коливання при наявності тертя
Дослідження змушених коливань при наявності тертя цілком аналогічно зробленому в п. 1.2 змушені коливання. Ми зупинимося тут докладно на випадку, що представляє самостійний інтерес, періодичної сили, що змушує.
Додавши в правій стороні рівняння (4.1) зовнішню силу f cos yt і розділивши на т, одержимо рівняння руху у вигляді
(5.1)
Рішення цього рівняння зручно знаходити в комплексній формі, для чого пишемо в правій частині eiγt замість cos yt:
Приватний інтеграл шукаємо у вигляді x = B eiγt і знаходимо для В:
(5.2)
Представивши В у виді beiδ, маємо для b і δ:
(5.3)
Нарешті, відокремивши речовинну частину від вираження Beiγt = bei(γt+δ), одержимо приватний інтеграл рівняння (5.1), а додавши до нього загальне рішення рівняння без правої частини (яке ми напишемо для визначеності для випадку ω0>?), одержимо остаточно:
х = ае-λt cos (ωt+ a) + b cos (γt + δ). (5.4)
Перший доданок експоненціальне убуває згодом, так що через досить великий проміжок часу залишається тільки другий член:
x = b cos (γt + δ). (5.5)
Вираження (5.3) для амплітуди b змушеного коливання хоча й зростає при наближенні частоти γ до ω0, але не звертається в нескінченність, як це було при резонансі під час відсутності тертя. При заданій амплітуді сили f амплітуда коливання максимальна при частоті
при λ<<<ω0 це значення відрізняється від ω0 лише на величину другого порядку малості.
Розглянемо область поблизу резонансу. Покладемо γ = ω0 + ε, де ε — мала величина; будемо також уважати, що λ<<ω0. Тоді в (5.2) можна приблизно замінити:
так що
(5.6)
або
(5.7)
Відзначимо характерну рису ходу зміни різниці фаз δ між коливанням і силою, що змушує, при зміні частоти останньої. Ця різниця завжди негативна, тобто коливання «запізнюється» щодо зовнішньої сили. Удалині від резонансу, з боку γ < ω0, δ прагне до нуля, а з боку γ > ω0 — до значення — π. Зміна δ від нуля до — π відбувається у вузькій (ширини ~ λ) області частот, близьких до ω0; через значення -π/2 різниця фаз проходить при γ = ω0. Відзначимо в цьому зв'язку, що під час відсутності тертя зміна фази змушеного коливання на величину ? відбувається стрибком при ? = ?0 (другий член в (2.4) міняє знак); облік тертя «розмазує» цей стрибок.
При усталеному русі, коли система робить змушені коливання (5.5), її енергія залишається незмінної. У той же час система безупинно поглинає (від джерела зовнішньої сили) енергію, що дисипарується завдяки наявності тертя. Позначимо за допомогою I(γ) кількість енергії, що поглинається в середньому в одиницю часу, як функцію частоти зовнішньої сили. Згідно (4.13) маємо: I (γ) = 2F,
де F — середнє (по періоду коливання) значення дисипативної функції. Для одномірного руху вираження (4.11) дисипативної функції зводиться до
Підставивши сюди (5.5), одержимо:
Середнє за часом значення квадрата синуса дорівнює ? , тому
I(γ) = λmb²γ². (5.8)
Поблизу резонансу, підставляючи амплітуду коливання з (5.7), маємо:
(5.9)
Такий вид залежності поглинання від частоти називається дисперсійним. На півшириною резонансній кривій (мал. 1)
називають значення |ε|, при якому величина I(ε) зменшується вдвічі в порівнянні з її максимальним значенням при ε = 0.З формули (5.9) видно, що в цьому випадку ця на півширина збігається з показником загасання ?. Висота ж максимуму
I (0) = f ² / 4m?
обернено пропорційна ?. Таким чином, при зменшенні показника загасання резонансна крива стає вже й вище, тобто її максимум стає більше гострим. Площа ж під резонансною кривою залишається при цьому незмінній. Остання дається інтегралом
Оскільки I(ε) швидко убуває при збільшенні |ε|, так що область більших |ε| однаково не істотна, можна при інтегруванні писати I(ε) у вигляді (5.9), а нижня межа замінити на — ∞. Тоді
(5.10)
Висновок
Коливання - більш-менш регулярно повторюваний процес. Таке дуже нестроге, «якісне» визначення поняття «коливання». Можна привести безліч прикладів коливальних процесів, що ставляться до різних областей фізики (і не тільки фізики). Коливається маятник годин; коливається вантаж, підвішений на пружині. Коливається схвильована поверхня води й гітарна струна. Коливається заряд на пластинах конденсатора й магнітне поле в котушці індуктивності коливального контуру; періодично змінюється температура повітря (узимку холодніше - улітку тепліше) і кількість автомобілів на вулицях міста (більше в годинники пік - менше пізньої вночі). Періодично міняється економічна ситуація в житті суспільства: кризові явища переміняються підйомом економіки. Коливається тиск (або щільність повітря), викликаючи коливання вушної мембрани - і ми чуємо голос співака на оперній сцені. Таких прикладів можна привести як завгодно багато. Ознайомилися з коливаннями в тієї або іншій фізичній системі. Тут же познайомилися з найбільше що часто зустрічаються найпростішими видами коливальних рухів, основними характеристиками коливальних процесів, з математичним способом опису коливань.
У результаті проробленої роботи було розглянуте наступне:
вільні одномірні коливання;
змушені коливання;
коливання систем з багатьма ступенями волі;
загасаючі коливання;
змушені коливання при наявності тертя.
Література
1.Ландау Л.Д., Лифшнц Е.М. Теоретична фізика: Посібник. - Т.I. Механіка. - 4-е изд., випр. - К.: Наука. 1988
2.Кингсеп А.З, Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основи фізики. Курс загальної фізики: Підручник. В 2 т. Т. 1. Механіка, електрика й магнетизм, коливання й хвилі, хвильова оптика – К., 2001
3.Матвєєв А.Н., Механіка й теорія відносності. – К., 2003
4.Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. - М.: Издательство «Наука», 1970
5.Зоммерфельд А., Механика. Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2001
