Основи електротехніки
Задача 1
Задано величини напруги на вхідних затисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).
Рис. 1.0
Вихідна схема
Дано:
U = 100 В; R1 = 10 Ом;
R2 = 20 Ом; R3 = 7 Ом;
R4 = 8 Ом; R5 = 10 Ом;
R6 = 20 Ом; R7= 10 Ом;
R8 = 5 Ом; R9 = 5 Ом.
Визначити: струми в вітках.
Рішення:
Рис. 1.1
Проставимо напрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d. Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола Uав, Ucd.
Схему перетворимо до еквівалентного опору. Опори R7, R8 і R9 з'єднані послідовно і еквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R789 = R7 + R8 + R9 = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1). Опори R6 і R789 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R6-9 = R6· R789/( R6 + R789)=20·20/(20+20)= 10 Ом (Рис. 1.2).
Опори R5 і R6-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd): Rcd = R5· R6-9/( R5 + R6-9) = 10·10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R1 R1 R2 R3-9
Опори R3, Rcd і R4 з'єднані послідовно і їх еквівалентний опір:
R3-9 = R3 + Rcd + R4 = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).
Опори R2 і R3-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола ав): Rав = R2· R3-9/( R2 + R3-9) = 20·20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).
Еквівалентний опір усього кола (опори R1 і Rав з'єднані послідовно):
Rекв = R1 + Rав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).
Струми визначаємо за допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.
Сила струму на вході кола:
I1 = U/Rекв = 100/20 = 5 А.
Напруга на паралельній ділянці ав:
Uав = I1·Rав = 5·10 = 50 В.
Сила струму: I2 = Uав/R2 = 50/20 = 2,5 A.
Сила струму: I3 = I4 = Uав/R3-9 = 50/20 = 2,5 А.
Напруга на паралельній ділянці cd:
Ucd = I3·Rcd = 2,5·5 = 12,5 В.
Сила струму: I5 = Ucd/R5 = 12,5/10 = 1,25 A.
Сила струму: I6 = Ucd/R6 = 12,5/20 = 0,625 A.
Сила струму: I7 = Ucd/R789 = 12,5/20 = 0,625 A.
Перевірка правильності рішення по першому закону Кірхгофа.
Вузол а: I1 – I2 – I3 = 0; 5 – 2,5 – 2,5 = 0.
Вузол c: I3 – I5 – I6 – I7 = 0; 2,5 – 1,25 – 0,625 – 0,625 = 0.
Задача 2
Дані всі ЕРС і опори в схемі (рис. 2.1). Потрібно:
1. Скласти рівняння Кірхгофа (не вирішуючи).
2. Перетворити пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми віток методами контурних струмів і двох вузлів.
3. Скласти баланс потужностей.
4. Побудувати потенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.
Рис.2.1
Вихідна схема
Дано:
E1 = 60B,
E2 = 40 Ом,
R1 = 8 Oм,
R2 = 10 Oм,
R3 = 12 Oм,
R4 = 16 Oм,
R5 = R6 = R7 = 30 Oм
Рішення:
1. Довільно проставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обраних контурів.
Складаємо рівняння за законами Кірхгофа.
Перший закон.
Для вузла 1 I7 + I5 - I1 = 0.
Для вузла 2 I2 - I6 - I5 = 0.
Для вузла 3 I3 + I6 - I7 = 0.
Другий закон.
Для контуру А E1 + E2 = I1·R1 + I2·R2 + I5·R5.
Для контуру В E2 = I2·R2 – I3·(R3 + R4) + I6·R6.
Для контуру С 0 = I7·R7 – I5·R5 + I6·R6.
2. Перетворимо пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).
Рис.2.2. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зірку
Так як опори трикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові і рівні:
Рис.2.3. Розрахункова схема
Опори віток (рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:
R1/ = R1 + R57 = 8 + 10 = 18 Ом;
R2/ = R2 + R56 = 10 + 10 = 20 Ом;
R3/ = R3 + R4 + R67 =
=12 + 16 + 10 = 38 Ом.
1. Визначимо струми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурні рівняння.
E1 + E2 = J1·(R1/ + R2/ ) + J2· R2/.
E2 = J1·R2/ + J2·(R2/ + R3/ ).
Підставимо чисельні значення.
100 = J1·38 + J2·20.
40 = J1·20 + J2·58.
Контурні струми знаходимо за допомогою методу визначників.
J1 = ∆1/∆ = 5000/1804 = 2,77.
J2 = ∆2/∆ = - 480/1804 = - 0,266.
Визначимо струми в вітках.
I1 = J1 = 2,77 A; I2 = J1 + J2 = 2,77 – 0,266 = 2,504 A.
I3 = - J2 = - 0,266 A.
Знак мінус свідчить про те, що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.
2. Визначимо струми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузлову напругу.
g1, g2, g3 – провідності відповідних віток. Далі визначимо струми в вітках.
I1 = (E1+UАВ)/ R1/ = (60- 10,11)/18 = 2,77 A.
I2 = (E1-UАВ)/ R2/ = (40 + 10,11)/20 = 2,505 A.
I3 = -UАВ/ R3/ = -10,11/38 = - 0,266 A.
3. Складемо баланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бути дорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Рспож = Рнагр.
E1· I1 + E2 · I2 = I12· R1/ +I22· R2/ + I32·R3/.
60 · 2,77 + 40 ·2,505 = 2,772 · 18 + 2,5052 · 20 + 0,2662 · 38.
266,4 = 266,3.
Погрішність розрахунків:
Точність розрахунку досить висока.
4. Для побудови потенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявши потенціал точки В рівним нулеві.
jB = 0; jÑ = jB E1 = - 60 B; jÀ = jC + I1·R1 = - 60 + 2,77·18 = - 10,14 B; jD = jÀ + I2·R2 = -10,14 + 2,505·20 = 40 B; jB = jD –E2 = 0.
Рис.2.4. Потенційна діаграма
Задача 3
По заданих величинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гц при амплітуді Uм і початковій фазі φu:
1. Показання приладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).
2. Побудувати в масштабі векторну діаграму напруг і струму.
3. Записати миттєві значення напруги і струму на вході кола:
i = Iм ּ Sin(ω·t + φi)
и
U = Uм ּ Sin(ω·t + φu).
Рис.3.1. Розрахункова схема.
Дано:
Uм =100 В, φu= 10о;
R1=20 Ом, R2=25 Ом;
L1= 63,8 мГн; С1= 100 мкФ.
Рішення:
Діюче значення напруги (показання вольтметра):
U = Uм/1,41 = 100/1,41 = 70,71 В.
Миттєве значення напруги:
U = 100 ּ Sin(ω·t + 10о).
Опори:
XL1 = ω·L1 = 2·π· f · L1 = 2·π· 50 ·63,8·10-3 = 20 Ом.
XС1 = 1/(ω·С1) = 1/(2·π· f ·З1) = 1/(2·π· 50 ·100·10-6) = 32 Ом.
Модуль повного опору кола:
z = [(R1 + R2)2 + (XL1 – XC1)]0,5 = [452 + (-12)2]0,5 = 46,57 Ом.
Зсув фаз між струмом і напругою:
φ = arc tg (XL1– XC1)/(R1 + R2) = arc tg(-12/45) = - 14,93o.
Модуль струму в колі (показання амперметра):
I = U/z = 70,71/46,57 = 1,52 А.
Амплітудне значення струму:
Iм = I·1,41 =1,52 · 1,41 = 2,15 А.
Початкова фаза струму:
φi = φu – φ = 10o + 14,93o = 24,93o.
Миттєве значення струму:
I = 2,15 ּ Sin(ω·t + 24,93о).
Активна потужність у колі (показання ватметра):
P = I2 · (R1 + R2) = 1,522 · (20 + 25) = 104 Вт.
Для побудови векторної діаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.
UR1 = I·R1 = 1,52 · 20 = 30,4 В; UL1=I · XL1=1,52 · 20 = 30,4 В;
UR2 = I ·R2 = 1,52 · 25 = 38 В; UC1 = I ·XC1 = 1,52·32 =48,64 В.
Виберемо масштаби. Для струму – довільний. Для напруг – 0,5 В в 1мм. При побудові векторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:
Ủ = ỦR1 + ỦL1 + ỦR2 + ỦC1.
Рис.3.2. Векторна діаграма
Задача 4
Задано значення напруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:
1. Визначити струми I1, I2, I3, напругу U2 і cosj кожної ділянки кола.
2. Обчислити активну, реактивну і повну потужності всього кола.
3. Побудувати в масштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.
Рис.4.1. Розрахункова схема
Дано:
вхідна напруга U=380B;
опори
R1=185 Ом, R3 = 210 Ом, XL1 = 203 Ом,
XL3= 195 Ом,
XC2 = 200 Ом.
1. Визначимо повні опори віток. Показник оператора в градусах.
Z1 = R1 + jXL1 = 185 + j203 = 274,65 ·e j 47,66;
Z2 = - jXC2 = - j200 = 200·e - j90;
Z3 = R3 + jXL3 = 210 + j195 = 286,57·e j 43 .
Визначимо повний опір паралельної ділянки кола.
Визначимо повний опір усього кола.
Z = Z1+ Z23 = 185 + j 203 + 186 - j 200 = 371 + j 3 ≈ 371.
Визначимо комплексні значення струмів за допомогою закону Ома.
Повний струм
Спадання напруги на паралельній ділянці кола в комплексній формі.
= 1,024 ·273·e - j 47 = 280 ·e - j 47.
Струми в паралельних вітках у комплексній формі.
(Перевірка правильності визначення струмів по першому закону Кірхгофа: = 1,024 – 1,024 – j0,955 + j0,955 = 0).
Визначимо Cosφ кожної ділянки кола.
Cosφ1 = R1/Z1 = 185/274,65 = 0,67; Cosφ2 = R2/Z2 = 0/200 = 0;
Cosφ3 = R3/Z3 = 210/286 = 0,73.
2. Визначимо потужності. Комплекс повної потужності всього кола.
Страницы: 1, 2
