В плоских течениях эквипотенциальные поверхности дают проекции на плоскость (х,у) в виде линии, поэтому часто в задачах рассматриваются эквипотенциальные линии которые перпендикулярны линии тока.
В потенциальном потоке , в плоском течении
функция тока ψ гармоническая
Сравнение потенциала φ и ψ позволяет записать:
-
условие Коши-Римана.
15. Комплексный потенциал, комплексная скорость
Из теории комплексной переменной известно, что если две функции φ и ψ, зависящие от х и у, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то комплексная величина будет не просто зависеть, а являться функцией от комплексной переменной , то есть существует некоторая функция , действительной частью которой является φ, а мнимой ψ. .
Функция имеет большое значение при изучении плоских потенциальных течений и называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.
Так как является аналитической функцией от , то ее производная не зависит от направления дифференцирования, а зависит только от положения точки в пространстве, то есть
по условию Коши-Римана:
Если вектор U разложить в комплексной плоскости годографа U, то .
Производная от комплексного потенциала дает зеркальное изображение комплексной U относительно действительной оси. Обозначим ее как
.
В теории комплексной переменной числа и называют сопряженными, назовем как сопряженную U. Таким образом, производная от комплексного потенциала определяет .
Таким образом, если изменяется какое-то плоское потенциальное течение, то для него можно подобрать уравнение комплексного потенциала, проанализировать его и просчитать составляющие U в любой точке. С другой стороны для любого потенциала можно определить вид течения.
16. Частные случаи плоских потенциальных течений
1. Плоско параллельный поток:
Рассмотрим комплексный потенциал - , где а – действительное число
и
- семейство прямых, параллельных оси у. - уравнение функции тока.
Линии тока - семейство прямых, параллельных оси х. - уравнение эквипотенциальных поверхностей.
Для построения поля скоростей возьмем производные
;
Таким образом, рассмотренный потенциал описывает плоское течение потока вдоль оси х. Величину а можно рассматривать как скорость внешнего (набегающего) потока, .
2. Источник и сток.
Рассмотрим комплексный потенциал , а – действительное число (), тогда
Уравнение для потенциала: . - эквипотенциальные линии, семейство окружностей с центром в точке (0,0).
- уравнение функций тока. - семейство прямых, проходящих через точку (0,0).
Характер (вид) течения определяет знак при а. Если a>0, то это источник, если a<0, то это – сток.
- объемный расход;
;
Если разместить источник и сток рядом то получится следующая картина.
Если их свести вместе, то получится диполь.
3. Рассмотрим комплексный потенциал:
Уравнение эквипотенциальных линий - семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси х.
Уравнение для линий тока - семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси у.
4. Рассмотрим комплексный потенциал вида:
Г – циркуляция вектора скорости – круговое течение потока.
- семейство прямых, проходящих через точку (0,0).
Это уравнение эквипотенциальных линий.
- функция тока;
- линии тока – семейство окружностей с центром в (0,0).
- радиальная скорость;
Исследованный потенциал определяет течение, которое называется потенциальным вихрем.
Окружная скорость изменяется по гиперболе.
17. Безциркуляционное обтекание круглого цилиндра
Рассмотрим комплексный потенциал, представленный в виде суммы двух, один из которых – поток плоскопараллельного течения, другой – диполя.
Если приравнять к константе получим уравнение эквипотенциальной линии. - линии тока, - уравнение для нулевой линии тока. Если принять , то получим уравнение для нулевой линии тока:
Оно разделится на два: 1) у=0;
2) - окружность с радиусом
В идеальной жидкости трения нет, поэтому можно заменять любую линию тока, и характер течения не изменится, следовательно, если заменить нулевую линию тока твердой поверхностью, то получится задача обтекания цилиндра плоским потоком. Представим функцию тока и потенциал в полярной системе координат:
; ;
Рассмотри составляющие скорости:
Значит: , то есть окружная составляющая скорости изменяется по синусоиде (при , - ). Точки А и В передняя и задняя критические точки соответственно.
Максимальные значения окружной скорости при 90˚ и 270˚ - точки С и Д.
Нулевая линии тока проходит из (-∞) в передней критической точке А, раздваивается огибает цилиндр, соединяется в задней критической точке В и уходит в (+∞).
Для определения распределения давления по поверхности воспользуемся уравнением Бернулли:
Введем в рассмотрение коэффициент давления , показывающий безразмерное избыточное давление на поверхности:
На поверхности существует только окружная скорость, следовательно, для поверхности:
Из полученной формулы следует, что давление на поверхности максимально в критических точках А и В () и минимально в точках С и Д ().
Таким образом, распределение давлений симметрично относительно осей х и у. Результирующая сил давления на цилиндр равна нулю. Цилиндр не сносится потоком, его R=0.
Этот парадокс называется парадоксом Эйлера-Даламбера и присущ только для идеальной жидкости. Для реальных жидкостей обтекание цилиндра будет только при очень низких скоростях ().
Обычно обтекание цилиндра происходит с отрывами в задней части цилиндра, в результате, давление в лобовой зоне всегда больше, чем в кормовой.
Распределение давления описывается экспериментальными линиями, которые отличаются от теоретических. С увеличением скорости распределение давления стремится как бы к теоретическому, и
18. Обобщенный закон Ньютона
Ньютон установил связь напряжения трения между слоями движущейся жидкости с поперечным градиентом скорости
;
μ – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом динамической вязкости.
- коэффициент кинематической вязкости.
Касательное трение при движении потока вдоль оси х может быть записано в виде:
При движении потока вдоль оси у:
При движении потока в плоскости ху в произвольном направлении:
Записанные уравнения выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений. В скобках стоят величины, связанные с недиагональными компонентами тензора скоростей деформации. Они выражают скорости скашивания углов в соответствующих плоскостях. Таким образом касательные напряжения являются линейными функциями от скоростей скашивания углов в соответствующих плоскостях.
Определим нормальное напряжение вязкой жидкости. Если вязкость отсутствует, то нормальное напряжение не зависит от выбора направления площадки.
Нормальные напряжения вязкой жидкости выразим в виде суммы:
Компоненты, учитывающие вязкость связаны с диагональными компонентами тензора скоростей деформации соотношениями:
складываем
Среднее арифметическое нормальных напряжений, приложенных в точке в трех взаимно перпендикулярных направлениях, есть давление потока в этой точке:
обобщенный закон Ньютона для нормальных напряжений
Жидкости, которые подчиняются записанным уравнениям называются ньютоновскими жидкостями. Вязкие растворы, не подчиняющиеся уравнениям называются неньютоновскими, а раздел их изучающий – реология.
19. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса)
Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости:
, .
В этом случае нормальные напряжения примут вид:
Уравнения движения получим из уравнения движения среды в напряжениях:
- система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости
Отличается от уравнений Эйлера тем, что в правой части появляется дополнительный член, который учитывает влияние сил вязкости.
Полученная система содержит 4 неизвестных . Для ее замыкания обычно используется уравнение сплошности. Полученная система может быть использована для решения бесконечного количества задач. Для перехода к конкретной задаче и ее решения, задачу необходимо описать с помощью условий однозначности. Условия однозначности состоят из четырех видов:
1) геометрические условия – задается геометрия изучаемой системы (канала и т.д.)
2) физические условия однозначности – задается вид движения жидкости и значения ее основных параметров .
3) граничные условия – определяют условия течения на границе рассматриваемой системы. Часто в качестве граничных условий используют условия прилипания потока, т.е. скорость потока на поверхности равна 0. Скорость набегающего потока задается или среднемассовая скорость или скорость на границе пограничного слоя.
4) Временные или начальные граничные условия задаются только для нестационарных задач и определяют особенности течения потока в начальный момент времени.
