(2.26)
Подставляя (2.12) в (2.20) и упрощая выражение, получаем
Или
Окончательно
(2.27)
2.4. Детализация явного вида функции
распределения энергии
Для удобства выпишем сшиваемые функции в точке х0.
(2.28)
(2.29)
где
Из равенства производных в точке сшивания
получаем
оттуда для больших l0, когда
(2.30)
Отсюда
(2.31)
Подставляя его в выражение φ1(х0)= φ2(х0) находим (см.2.28 и 2.29):
(2.32)
Во втором слагаемом справа в (2.32) учтена зависимость (2.30). Сокращая на 2kT и приведя подобные, получаем:
или для
(2.33)
Если нарастающая часть барьера достаточно резкая, то значение х0 в (2.31) не велико по сравнению с а. В этом случае из сравнения (2.31) и (2.33) следует и окончательно
(2.34)
(см. 2.27)
Как видно из (2.34) в максимуме, когда
(2.35)
Ширина нарастающей части барьера и, следовательно, напряженность поля здесь контролируется параметрами распределения ловушек 2l0. подставляя (2.35) в (2.34) получаем значение функции φ2 в максимуме:
(2.36)
Чем больше 2l0, тем выше барьер.
Зависимость от начальной концентрации ловушек Nt0 и их энергии активации Eс - Et определяется величиной . Из (2.36) следует, что с увеличением этих параметров высота барьера также возрастает линейно пропорционально (Eс - Et) и логарифмически пропорционально Nt0.
Общую ширину ОПЗ можно найти из (2.29) для значительных координат х, когда φ2(х)=0. В этом случае после сокращения на 2kT получаем
(2.37)
Здесь учтено, что по условиям задачи ловушки диффундируют дальше L1 и уже в максимуме координата xmax>a. Уравнение (2.32) не позволяет в явном виде получать зависимость L2(l0, A), но допускает выявить тенденции этой зависимости с помощью методов, заимствованных из теории чисел.
Представим (2.37) в виде
(2.38)
Пусть не изменяется тип ловушек (т.е. фиксируется А), но за счет технологических приемов возрастает l0 . В этом случае, поскольку правая часть не изменяется, а знаменатель первого слагаемого увеличивается, значение L2 должно возрастать, хотя и не пропорционально. Если бы L2 не изменялось, левая часть (2.38) тоже уменьшалось. Это следует из
Наоборот, пусть l0=const, а величина А увеличивается. Тогда левая часть в (2.38) должна возрастать. Поскольку логарифмическая функция y=lnL2 изменяется медленнее линейной , в целом L2 увеличивается. С ростом концентрации ловушек на поверхности Nt0 и их энергии активации Eс - Et ширина ОПЗ увеличивается.
Отметим при этом, что для такого вывода важно одновременное увеличение обоих параметров. Принципиально возможна ситуация когда более глубоких ловушек (больше) на геометрической поверхности мало (Nt0 меньше). Поскольку величина Nt0 управляется технологически, этой конкуренции можно избежать.
2.5. Энергетический профиль барьера в объеме полупроводника
Явный вид восходящей части барьера φ1(х) получен в зависимости от параметров a, nk (см. п.1.5-2.1) на поверхности полупроводника на основе допущения (2.10) (см. п.2.2) справедливого также на поверхности. После сшивания в точке х0 явный вид функции φ2(х) в глубине объема также оказался связанным с состоянием поверхности (см. 2.5).
Стандартная процедура сшивания в глубине объема функций φ2(х) и φ(х) [см. формулы(2.7) и (2.4)]
приводит к слишком сложной системе уравнений
(2.39)
которую можно решить только численными методами.
И даже весьма естественное предположение, что в точке сшивания х00 весь свободный заряд n0 переходит на ловушки (см. ф-лу 2.4)
не улучшает ситуацию, поскольку превращает второе уравнение (2.39) в бессмысленное
Поэтому был применен искусственный прием. Значение функции в максимуме при х=хm
откуда
и
что после подстановки в φ2(х) дает
и в максимуме (х=хm)
(2.40)
Видно, что чем ближе к границе раздела образуется барьер (хm убывает), тем он выше. С ростом концентрации ловушек Nt0 и их глубины Eс - Et (т.е. А возрастает) барьер тоже увеличивается. Что совпадает с полученным ранее.
В точке сшивания барьерной функции φ2(х) с функцией в квазинейтральной области φ(х) как было показано в п.2.1 φ≈kT. Поэтому можно считать, что х00 определяет общую ширину ОПЗ: х00=L2. Получаем:
или
причем L2>>l0 и, следовательно
тогда
(2.41)
Из (2.40) следует, что для высокого барьера требуются минимальные значения xm. Тогда, согласно (2.41)
или
после логарифмирования
(2.42)
поскольку из (2.36) следует
или
(2.42а)
Ширина области пространственного заряда увеличивается с ростом 2l0, что также совпадает с полученным ранее.
2.6. Влияние освещения на профиль барьера
При освещении полупроводника за счет неравновесных носителей степень заполнения электронных ловушек увеличивается. Будем считать, что интенсивность света достаточно велика. Тогда ловушки уже заполнены полностью и распределение заряда на них полностью совпадает с распределением самих ловушек.
В то же время обычного фотовольтаического уменьшения барьера из-за влияния зарядов свободных носителей не происходит.
Отметим, что в области I и III, очевидно, освещение ситуацию не поменяет, поскольку, как и раньше, ловушечные уровни уже заполнены, в первом случае потому что находятся ниже уровня Ферми, а в третьем, потому что их мало.
Остается решить уравнение Пуассона для второй области
(2.43)
в котором, как и в темноте, тем более справедливо и
Решением (2.43) будет
(2.44)
Значение С2 можно определить, используя тот же прием, который мы применили в п.2.4. Для очень больших значений х на краю распределения ловушек x»L2 значение функции φ2=0. Отсюда
(2.45)
Для всей первой области и возрастающей части барьера в силу x<L2 экспоненциальной частью (2.45) можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым в (2.44). Имеем
Константу С1 найдем из условия сшивания в точке х0, причем сама координата х0 на свету уже может быть другая:
С учетом (2.14)
(2.46)
Из второго уравнения (2.46)
(2.47)
Подставляя это значение в первое уравнение системы (2.46) и принимая во внимание
(2.48)
находим
(2.49)
применяя (2.48) еще раз из (2.49) определяем
откуда
Тогда (2.47) можно записать как
или, принимая L2>l0 окончательно
и (2.50)
В максимуме, когда
Откуда
и (2.51)
Видно, что, как и в темноте, с увеличением l0 в распределении ловушек положение максимума смещается вправо.
Подставляя (2.51) в (2.50) находим после преобразования
(2.52)
Освещение не меняет ширины области пространственного заряда, которая, как и раньше, контролируется только глубиной распространения ловушек. Тогда мы вправе применить (2.37)
в котором константа А определяется (2.16) как
Тогда выражение в квадратных скобках в (2.52) имеет вид
С учетом этого (2.52) упрощается:
(2.53)
величина a<l0 и L2>l0. Полагая для простоты сравнения
(2.54)
видим, что первое слагаемое в (2.53) почти точно соответствует первой компоненте в темновой функции (2.36)
с учетом (2.16) расписывается в виде
(2.55)
Из совместного рассмотрения (2.51), (2.35) и (2.54) следует
В таком случае (2.55) представим как
(2.56)
где В – некоторая константа меньшая или близкая к единице.
Формула (2.56) позволяет сравнить второе слагаемое с выражением в формуле (2.53). С учетом того, что и к тому же управляется технологически, получим, что на свету барьер оказывается несколько выше.
ГЛАВА 3
Фотоэлектрические свойства кристаллов, обработанных в газовом разряде
3.1 Технология легирования образцов
Обычно введение леганта в полупроводник производится нанесением соответствующего вещества на поверхность в избыточных количествах с последующим разогревом. При этом за счет градиента концентрации стандартным механизмом диффузии вещество транспортируется вглубь полупроводника.
В работе [2] описан способ создания электронных ловушек на поверхности полупроводника за счет обработки ее газовым разрядом. Преимущества этой методики связаны с присутствием электрического поля при технологических операциях. Варьируя величину и направление этого поля можно контролировать процесс внедрения дефектов и профиль их распределения.
