Построение волновых функций для атома и молекулы, используя пакет аналитических вычислений Maple
Пояснение к Курсовой Работе
для студентов 3 курса 8 факультета МАИ. 2008
В.Е. Тарасов v.e.tarasov@bk.ru
Задание:
Построение волновых функций для атома и молекулы, используя пакет аналитических вычислений Maple.
(Построение 3D изображений атомных орбиталей и их гибридизаций в пакете Maple)
Пояснение.
Атомная орбиталь — одноэлектронная волновая функция в сферически симметричном электрическом поле атомного ядра, задающаяся главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми числами.
Название «орбиталь» (а не орбита) отражает геометрическое представление о движении электрона в атоме; такое особое название отражает тот факт, что движение электрона в атоме описывается законами квантовой механики и отличается от классического движения по траектории.
Геометрическое изображение
Геометрическое представление атомной орбитали - область пространства, ограниченная поверхностью равной плотности (эквиденситной поверхностью) вероятности или заряда. Плотность вероятности на граничной поверхности выбирают исходя из решаемой задачи, но, обычно, таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона в ограниченной области лежит в диапазоне значений 0.9-0.99.
Поскольку энергия электрона определяется кулоновским взаимодействием и, следовательно, расстоянием от ядра, то главное квантовое число n задает размер орбитали.
Форма и симметрия орбитали задаются орбитальным квантовыми числами l и m: s-орбитали являются сферически симметричными, p, d и f-орбитали имеют более сложную форму, определяемую угловыми частями волновой функции - угловыми функциями. Угловые функции Ylm (φ , θ) - собственные функции оператора квадрата углового момента L2, зависящие от квантовых чисел l и m, являются комплексными и описывают в сферических координатах (φ , θ) угловую зависимость вероятности нахождения электрона в центральном поле атома. Линейная комбинация этих функций определяет положение орбиталей относительно декартовых осей координат.
Для линейных комбинаций Ylm приняты следующие обозначения:
Значение орбитального квантового числа
0
1
1
1
Значение магнитного квантового числа
0
0
Линейная комбинация
-
-
Обозначение
2
2
2
2
2
0
-
Дополнительным фактором, иногда учитываемым в геометрическом представлении, является знак волновой функции (фаза). Этот фактор существен для орбиталей с орбитальным квантовым числом l, отличным от нуля, то есть не обладающих сферической симметрией: знак волновой функции их "лепестков", лежащих по разлные стороны узловой плоскости, противоположен. Знак волновой функции учитывается в методе молекулярных орбиталей МО ЛКАО (молекулярные орбитали как линейная комбинация атомных орбиталей).
СФЕРИЧЕСКАЯ ФОРМА s-орбитали
РАСПОЛОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ р-орбиталей
ФОРМЫ d-ОРБИТАЛЕЙ
ФОРМЫ f-ОРБИТАЛЕЙ
ФОРМА g-ОРБИТАЛИ
Гибридизация атомных орбиталей. Молекулярные орбитали.
По методу молекулярных орбиталей любая молекула рассматривается
как совокупность всех ядер и электронов всех атомов, образующих данную сложную
частицу.
Существует несколько вариантов этого метода. Рассмотрим один из них, наиболее
распространённый.
ЛКАО МО - линейная
комбинация атомных орбиталей - есть молекулярная орбиталь.
Образование её можно представить как результат сложения и вычитания комбинируемых атомных орбиталей.
Если атомные орбитали обозначить φA и φB, то их
линейная комбинация даст молекулярные орбитали двух типов. При сложении
возникает молекулярная орбиталь ψ+, при вычитании - ψ-.
Сложение означает, что молекулярная орбиталь характеризуется повышенной электронной плотностью в пространстве между ядрами, поэтому энегетически она выгоднее исходных атомных орбиталей. Такая орбиталь называется связующей.
При вычитании атомных орбиталей образуется орбиталь с пространственным разрывом между ядрами. Электронная плотность равна нулю, и подобная орбиталь энергетически менее выгодна, чем исходные атомные орбитали. Такая молекулярная орбиталь называется разрыхляющей.
ГИБРИДИЗАЦИЯ с участием двух орбиталей, s и px
ГИБРИДИЗАЦИЯ с участием трех орбиталей: s, px и py
sp
180°
линейная
H–Be–H, HC≡CH
sp2
120°
плоская тригональная
H2C=CH2, C6H6, BCl3
sp3
109°28'
тетраэдрическая
[NH4]+, CH4, CCl4, H3C–CH3
sp2d
90°
квадратная
[Ni(CN)4]2–, [PtCl4]2–
sp3d или dsp3
90°, 120°
триагонально-бипирамидальная
PCl5
d2sp3 или sp3d2
90°
октаэдрическая
[Fe(CN)6]3–, [CoF6]3–, SF
Описание движения в кулоновском поле (сферические координаты), используя Maple.
Рассмотрим атом водорода в квантовой механике. Напомним, что при движении в центрально-симметричном поле момент количества движения сохраняется. В силу этого, в волновой функции можно выделить радиальную и угловую часть. Наиболее прямой способ вычисления собственных функций момента движения есть непосредственное решение об отыскании собственных функций квадрата момента, записанного в сферических координатах. При этом, собственные функции момента оказываются ничем иным, как определенным образом нормированными сферическими функциями.
Страницы: 1, 2
