В данном примере мы графически представим собственные функции стационарных состояний и обсудим некоторые их свойства.
Итак, нам известно, что полная волновая функция = разлагается на три части и, поэтому, рассмотрим эти части отдельно.
Угловая часть волновой функции
Собственная функция третьей проекции оператора момента равна . В обозначениях Maple это выглядит следующим образом
> restart:
> Phi:=(2*Pi)^(-1/2)*exp(I*m*phi);
Заметим сразу, что данные функции являются ортонормированными
> int(evalc( Phi* conjugate(Phi) ), phi=0..2*Pi);
и, поэтому, мы просто не будем учитывать этот множитель далее при вычислении полной волновой функции.
Продолжая изучение угловой части полной собственной функции, введем полиномы Лежандра , используя обобщенную формулу Родрига
Ø P:=(l,x)->if l<>0 then 1/(2^l*l!)*diff((x^2-1)^l,x$l) else 1 fi;
С точки зрения программиста мы написали процедуру с именем P(l,x) , которая зависит от двух аргументов l и x .
С другой стороны, мы могли бы использовать встроенную процедуру из пакета orthopoly для определения этих полиномов.
Для примера, посмотрим, как выглядит один из полиномов Лежандра
> collect(P(5,x),x);
Присоединенные полиномы Лежандра первого рода определяются аналогичным образом
> P1:=(l,m,x)
->
if m=0 then P(l,x) else
(1-x^2)^(m/2)*diff(P(l,x),x$m) fi:
Введем стандартную замену аргумента и зададим необходимую нормировку для сферических гармоник
> Theta:=d->sqrt((2*l+1)*(l-m)!/(l+m)!)*subs(d=cos(theta),P1(l,m,d));
Теперь определим сферические гармоники
> Y:=d->Theta(d)*Phi:
которые являются комплексными функциями. Для примера построим графики вещественной и мнимой частей сферических гармоник
> with (plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> l:=3:m:=1:
sphereplot(Re(Y(d)),phi=0..2*Pi,theta=0..Pi,scaling=constrained,
grid=[15,100],axes=framed,title=`Вещественная часть при l=3, m=1`);
> l:=4:
m=0:
sphereplot(Im(Y(d)),phi=0..2*Pi,theta=0..Pi,scaling=constrained,
grid=[15,100],axes=framed,title=`Мнимая часть при l=4, m=0`);
Вычислим квадрат нормы присоединенной функции Лежандра, т.е. | |^2 , для одной из гармоник, например при . Напомним, что это характеризует вероятность нахождения электрона в атоме водорода.
> l:=3:
m:=1:
sphereplot((Theta(d)^2),phi=Pi/2..2*Pi,theta=0..Pi,
scaling=constrained,grid=[15,100],axes=framed,
title=`Квадрат нормы угловой части при l=3, m=1`);
и ее проекцию на плоскость
> polarplot(Theta(d)^2,theta=0..2*Pi,scaling=constrained,
title=`Проекция на плоскость xy`);
Радиальная часть волновой функции
Перейдем к построению радиальной части волновой функции .
Определим полиномы Лаггера по формуле Родрига
> L:=(j,k,x)->if
j<>0
then
1/j!*exp(x)/x^k*diff(x^(j+k)*exp(-x),x$j) else 1 fi;
Заметим, что мы используем математическое определение (см. справочник Бейтмена и Эрдейи), которое нормировками отличается от определения, данного в книге Ландау и Лифшица. Именно это определение совпадает со встроенной процедурой
> simplify(L(3,2,x));
> simplify(L[orthopoly](3,2,x));
Радиальная часть волновой функции (присоединенная функция Лаггера) равна
> Ru:=(n,l,x)->x^l*exp(-x/2)*L(n-l-1,2*l+1,x):
Посмотрим, как выглядит эта функция при частных значениях параметров
> n:=4:
l:=2:
simplify(Ru(n,l,x));
Зададим необходимую нормировку радиальных функций и определим стандартную подстановку аргумента ,где - координата и - -боровский радиус:
> n:='n':l:='l':r:='r':
R:=x->sqrt(4*(n-l-1)!/(n+l)!/(a^3*n^4))*simplify(subs(x=2*r/(n*a),Ru(n,l,x)));
Построим график квадрата нормы радиальной части волновой функции, при . Напомним, что квадрат нормы воновой функции характеризует вероятность нахождения электрона в данной области
> a:=1: n:=3: l:=1:
plot((r*R(d))^2,r=0..30,title=`Квадрат
нормы радиальной части при n=3, l=1`);
Посмотрим, как изменяется характер волновой функции в зависимости от энергии системы, т.е. в зависимости от числа .
> bases:=
[seq(i,i=l+1..l+9)]:
S:=seq(plot((r*R(d))^2,r=0..30,
color=COLOR(HUE,1.1-n/10), title=`Квадрат нормы радиальной части`, legend=`При n=`||n), n=bases):
plots[display](S,insequence=false);
Можно видеть характерное "размазывание" функции с ростом энергии.
Более наглядно данное явление можно увидеть в среде Maple, используя анимацию. Для этого надо изменить опции в последней команде следующим образом insequence=true , т.е. попросить систеиу выдавать графики на дисплей не одновременно, а последовательно.
Построение полной волновой функции, используя Maple.
Используя введенные ранее части полной волновой функции , мы можем исследовать эту полную волновую функцию. Рассмотрим, например, как ведет себя квадрат нормы | |^2=| |^2 одной из гармоник, например при
>
n:=3: l:=2: m:=0:
plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),Re((r*R(d)*Theta(d))^2)],
r=0..30,theta=Pi/2..2*Pi,axes=framed,
title=`Квадрат нормы при n=3,l=2,m=0`);
С волновыми функциями при приходиться иметь дело, в частности, в задачах рассеяния, поскольку частица, движущаяся вдоль оси , тождественно имеет . Рассмотрим, при фиксированных числах , как меняется эта функция с ростом энергии, т.е. с ростом главного квантового числа . При этом мы будем использовать анимационные возможности среды Maple.
> a:=1: l:=1: m:=0: bases:= [seq(i,i=l+1..l+9)]:
S:=seq(plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),Re((r*R(d)*Theta(d))^2)],
r=0..50,theta=0..2*Pi,axes=framed,
title=`Квадрат нормы при n = `||n),
n=bases):
display3d(S,insequence=true);
Далее, при фиксированной энергии, посмотрим зависимость от квантового числа :
Ø
a:=1:
n:=7: m:=0: bases:= [seq(i,i=0..n-1)]:
S:=seq(plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),Re((r*R(d)*Theta(d))^2)],
r=0..50,theta=0..2*Pi,axes=framed,
title=`Квадрат нормы при l = `||l), l=bases):
display3d(S,insequence=true);
Используем иные возможности системы Maple, для того, чтобы увидеть другие характеристики данной функции. Например Maple, позволяет вывести контурную проекцию данного распределения. В отличие от анимации, данный график может быть напечатан.
> plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),(r*R(d)*Theta(d))^2],
r=0..20,theta=0..2*Pi,axes=boxed,orientation=[0,0],
shading=z,style=patchcontour,scaling=constrained,
title=`Контурная проекция квадрата нормы`);
Определим процедуру, которая позволяет построить все рассматриваемые выше графики для какой-либо из гармоник:
> HydrogenPlots:=proc(n,l,m)
global a,p1,p2,p3,p4,p5; local txt;
a:=1; txt:=`nlm=`||n||l||m:
p1:=sphereplot(Theta(d)^2,phi=Pi/2..2*Pi,theta=0..Pi,axes=boxed,
scaling=constrained,grid=[15,100],title=`txt`);
print(p1);
p2:=polarplot([Theta(d)^2,theta+Pi/2,theta=0..2*Pi],scaling=constrained,
title=`txt`); print(p2);
p3:=plot((r*R(d))^2,r=0..30,title=`txt`); print(p3);
p4:=plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),(r*R(d)*Theta(d))^2],
r=0..30,theta=Pi/2..2*Pi,axes=boxed,title=`txt`);
print(p4);
p5:=plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),(r*R(d)*Theta(d))^2],
r=0..30,theta=0..2*Pi,axes=boxed,orientation=[0,0],style=patchcontour,scaling=constrained,
shading=z,title=`txt`);
end:
Например, пусть
> n:=4: l:=2: m:=1:
HydrogenPlots(n,l,m);
Конечно, вид графиков можно изменить, например изменив стиль
> replot(p1,style=patch,shading=z,orientation=[56,70]);
Можно посмотреть, как меняется распределение вероятности в зависимости от номера гармоники и без анимации, например при одной и той же энергии
> for
n from 4 to 4 do
for l from 0 to n-1 do
for m from 0 to l do
txt:=`nlm=`||n||l||m:
p||n||l||m:=plot3d([r*cos(theta),r*sin(theta),(r*R(d)*Theta(d))^2],
r=0..50,theta=0..2*Pi,axes=boxed,orientation=[0,0],
style=contour,scaling=constrained,
shading=z,
title=`txt`,numpoints=1000);
print(p||n||l||m);
od; od; od;
Список литературы
Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев P.M.
Теория строения молекул. Электронные оболочки. М., "Мир", 1979
А.В. Цыганов Курс лекций "Квантовая механика с
Maple"
Санкт-Петербург 2000
http://www.andrey-ts.narod.ru/Maple/maple.html
Страницы: 1, 2
