Внутри волновода длина волны отличается от длины волны, в свободном пространстве и наблюдается большая дисперсия, т. е. зависимость скорости распространения волн от частоты и различие между фазовой и групповой скоростью.
Прямоугольный волновод.
Рассмотрим простейшую структуру поля в прямоугольном, волноводе при распространении в нем электромагнитного поля. Она называется основным типом волны прямоугольного волновода и обозначается ТЕ01. Электрическое поле имеется только в направлении у. Это удовлетворяет граничному условию Et =0 на стенках параллельно плоскости xz, образующих верх и низ волновода. На боковых стенках Еу тоже равно нулю. Поэтому для простейшего распределения поля в прямоугольном волноводе, которое удовлетворяет граничным условиям, зависимость Еу от z должна быть синусоидальной, т.е.
(8)
Величина π/b в этом уравнении вводится для того, чтобы Еу равнялось нулю на боковых стенках волновода, т. е. при z=0 и z=b. Этот же результат дает и решение уравнения поля.
Составляющая Еу, оставаясь перпендикулярной плоскости xz, распространяется в направлении оси х, и поэтому ее зависимость от z и х будет следующая:
так как
Таким образом, простейшая волна ТЕ01 характеризуется тем, что вдоль большой стороны b поперечного сечения волновода укладывается один максимум поля, а вдоль меньшей стороны сечения а поле не изменяется.
Составляющая магнитного поля Hz также должна меняться синусоидально по z, для того чтобы нормальная составляющая магнитного поля на боковых ее стенках волновода обращалась в ноль, как этого требуют граничные условия. Вдоль оси распространения волны х составляющая Нz изменяется как cos (wt-βgx). Магнитные силовые линии должны быть замкнуты, поэтому выходят из поперечной плоскости и идут вдоль волновода в направлении оси х, образуя продольную составляющую магнитного поля Нх. Эта составляющая должна меняться, как , так как она максимальна на боковых стенках волновода, где магнитные силовые линии изгибаются и идут вдоль волновода. Кроме того, она должна быть сдвинута на π/2 по отношению к Еу и Нz в их пространственном изменении вдоль оси х. Так как электрическое поле направлено только по оси у, составляющие Ех и Еz равны нулю. Что касается компоненты Ну, то она равна нулю для этой волны в силу граничных условий. Таким образом, уравнения, описывающие полное поле волны ТЕ01 будут:
(9)
где b — ширина волновода, λg - длина волны в волноводе, βg = 2π/ λg — фазовая постоянная, Hо — амплитуда магнитного-поля, создаваемая источником в центре волновода в плоскости х = 0, Zw — волновое сопротивление волновода [6].
Волновое сопротивление Zw есть отношение напряженности электрического поля к напряженности магнитного в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны.
Длина волны в волноводе.
Каждая составляющая электрического поля должна удовлетворять волновому уравнению. Составляющая Еу, таким образом, должна удовлетворять уравнению
(10)
Для волны TE01Ey определяется из уравнения (9). Подставляя Еу в уравнение (10), получим
(11)
где =2π/λg а c - скорость света в свободном пространстве. Так как
(12)
где λ - длина волны генератора в свободном пространстве, то из уравнения (11) получим
(13)
Это равенство дает
(14)
Отсюда видно, что длина волны в трубе больше, чем в свободном пространстве. Это вызвано тем, что фазовая скорость распространения волн в волноводе больше, чем скорость распространения в свободном пространстве. Дифференцируя (11), получим выражение для групповой скорости
(15)
фазовая скорость будет
(16)
Кривая зависимости λg от λ, соответствующая уравнению (14), показана на рис. 2. С приближением λ к 2b λg неограниченно нарастает. Если λ>2b, то из уравнения (2.30) следует, что длина волны в волноводе становится мнимой величиной. Это означает, что при λ>2b всякое распространение волны в волноводе прекращается. Поэтому за предельную длину волны в прямоугольном волноводе с волной TE01 берут λпр = 2b. Равенство
(17)
справедливо для любого типа волны, любого волновода любого сечения при условии, что значение λg соответствует тому типу волны и тому поперечному сечению, которые в этом случае рассматриваются.
Для того чтобы понять особенности распространения электромагнитной волны в прямоугольном волноводе и наличие в нем критической волны, необходимо исходить из того, что поле в нем есть результат сложения двух плоских волн. В самом деле, рассмотрим плоскости равных фаз и направление распространения двух одинаковых плоских электромагнитных волн, изображенных на рис.3. Пусть направления распространения
Рис. 3. Плоскости равных фаз в прямоугольном волноводе
волн I и II образуют одинаковые углы падения с боковыми стенками волновода. Сплошными линиями, перпендикулярными к направлениям волн I и II, показаны плоские фронты этих волн с фазой, соответствующей максимуму бегущей синусоидальной волны для некоторого момента времени. Пунктирные линии соответствуют плоскостям минимумов бегущей волны. Как это видно из построения, на стенках в местах пересечения максимумов одной волны с минимумом другой автоматически выполняются граничные условия. Фронты максимумов плоских волн пересекаются посередине волновода под такими же углами, как и фронты минимумов. При увеличении длины плоской волны X вертикальные углы между фронтами максимумов и минимумов также увеличиваются и, таким образом, возрастают углы падения и отражения. Это и обусловливает появление предельной волны. Действительно, рассмотрим луч, соответствующий направлению волны I и ее фронт, где находится в данный момент максимум бегущей волны. Угол падения луча обозначим через θ. Из треугольника EOF (рис. 4) следует
λ/2=bcosθ, λ=2bcosθ
Следовательно, максимальная длина волны, которая может распространяться по волноводу, λпр =2b. В этом случае угол падения и отражения θ = 0 и фронт плоской волны параллелен оси волновода. При таком падении волна будет отражаться от стенки к стенке в вертикальном направлении и вдоль волновода распространяться не будет. Отсюда следует, что длина волны в волноводе, измеряемая вдоль оси волновода λg, больше длины волны в свободном пространстве λ, и так как λпр =2b, то cosθ= λ/λпр С другой стороны,
и, следовательно,
Скорость движения энергии по волноводу, т. е. групповая скорость, меньше фазовой скорости и скорости света с. Из рис. 4 видим, что групповая скорость νгр=csinθ или
Фазовая скорость больше скорости света и в пределе стремится к бесконечности при λ→ λпр, это и объясняет то, что длина волны в волноводе λg больше, чем в свободном пространстве.
Нас интересуют размеры поперечного сечения волновода, от которых зависят предельные волны всех типов. Если длина волны генератора, питающего волновод, λ, то для распространения волны Н01 необходимо, чтобы размер большей стороны волновода b подчинялся условию λпр = 2b> λ, или b> λ/2, т. е. длина волны в. свободном пространстве должна быть меньше предельной волны типа Н01. Размер стороны a волновода не должен превышать длины волны, иначе в нем будет распространяться волна Н02, для которой λпр=a. Таким образом, для заданной волны λ генератора ширина волновода b определяется из условия λ /2<b< λ.
Для того, чтобы не распространялась волна Н10, для которой λпр=2a, размер меньшей стороны волновода a должен быть меньше λ /2.
Обычно размер меньшей стороны волновода принимают равным половине большой, т. е. а=b/2 = 0,35 λ.
Таким образом, в волноводе е размерами сторон b = 0,7λ, а = 0,35 λ, может распространяться только волна Н01.
1.5. Эффект Ганна и его использование, в диодах, работающих в генераторном режиме.
Для усиления и генерации колебаний СВЧ-диапазона может быть использована аномальная зависимость скорости электронов от напряженности электрического поля в некоторых полупроводниковых соединениях, прежде всего в арсениде галлия. При этом основную роль играют процессы, происходящие в объеме полупроводника, а не в p-n-переходе. Генерацию СВЧ-колебаний в однородных образцах GaAs n-типа при напряженности постоянного электрического поля выше порогового значения впервые наблюдал Дж. Ганн в 1963 г. (поэтому такие приборы называют диодами Ганна). В отечественной литературе их называют также приборами с объемной неустойчивостью или с междолинным переносом электронов, поскольку активные свойства диодов обусловлены переходом электронов из «центральной» энергетической долины в «боковую», где они характеризуются большой эффективной массой и малой подвижностью. В иностранной литературе последнему названию соответствует термин ТЭД (Transferred Electron Device).
В слабом поле подвижность электронов велика и составляет 6000–8500 см2/(Вс). При напряженности поля выше 3,5 кВ/см за счет перехода части электронов в «боковую» долину средняя дрейфовая скорость электронов уменьшается с ростом поля. Наибольшее значение модуля дифференциальной 10
подвижности на падающем участке примерно втрое ниже, чем подвижность в слабых полях. При напряженности поля выше 15–20 кВ/см средняя скорость электронов почти не зависит от поля и составляет около 107 см/с, так что отношение , а характеристика скорость–поле может быть приближенно аппроксимирована так, как показано на рис.5. Время установления отрицательной дифференциальной проводимости (ОДП) складывается из времени разогрева электронного газа в «центральной» долине (~10–12 с для GaAs), определяемого постоянной времени релаксации по энергии и времени междолинного перехода (~5-10–14 с).
Можно было бы ожидать, что наличие падающего участка характеристики в области ОДП при однородном распределении электрического поля вдоль однородно легированного образца GaAs приведет к появлению падающего участка на вольт-амперной характеристике диода, поскольку значение конвекционного тока через диод определяется как , где ; –площадь сечения; –длина образца между контактами. На этом участке диод характеризовался бы отрицательной активной проводимостью и мог бы использоваться для генерирования и усиления колебаний аналогично туннельному диоду. Однако на практике осуществление такого режима в образце полупроводникового материала с ОДП затруднено из-за неустойчивости поля и объемного заряда, флюктуация объемного заряда в этом случае приводит к нарастанию объемного заряда по закону
