Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r0)
Есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (r) принимает максимальное значение, так что для r < r0, U < Um и для r > r0, U < Um. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны.
(4.1)
Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера
(4.2)
в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:
(4.3)
Из (4.1) имеем,
(4.4)
и, стало быть,
(4.5)
т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что ψ не может гармонически зависеть от времени.
Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ψ (r, 0) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера.
Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r1) и имеющий простую прямоугольную форму.
Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем, что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу
При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как энергию частиц. Положим
(4.7)
Тогда среднее число частиц в объеме V0, заключенном внутри барьера, согласно (4.6) и (4.7), будет
т. е.
(4.8)
Величина λ - константа распада. Подстановка (46) в (4.2) дает
(99.9)
Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая
(4.10)
мы получим из (4.9)
(99.11)
Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11) разобьется на три;
(99.12) (99.12")(99.12'):
где:
(99.13):
Решения этих уравнений имеют вид
(99.14) (99.14') (99.14")
Из условия конечности ψ в нуле следует, что
(99.15)
Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны). Краевые условия на границах r = r 1 и r = r 2, как мы установили в § 1, сводятся к равенству функций и их первых производных
(99.16) (99.16’) (99.17) (99.17')
На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех коэффициентов A, α, β, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель ∆ системы уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают
(4.18)
где l означает ширину барьера r2 - r 1 (4.18) есть трансцендентное уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в нулевом 'приближении можно отбросить член с e -gl, и мы получаем
(4.19)
Это — точное уравнение для нахождения собственных значений потенциальной ямы (0, r1, Um), изображенной на рис. 4.2 и получаемой из потенциального барьера рис. 4.2 при r2 = ∞. В такой потенциальной яме имеются дискретные уровни энергии (для E<.Um). Если корни уравнения (4.19) обозначить через k01, kO2,… kn,…, то энергия этих уровней будет (согласно (4.13)) равна
(99.20)
Корни действительны, если λ = 0, и по порядку величины равны. В этом случае мы имеем стационарные состояния. При конечной ширине барьера асимптотическое поведение потенциальной энергии таково, что U(r)r→∞ < Е, и вместо дискретного спектра (4.20) мы получаем непрерывный. Однако условие излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Еоп, но они не будут теперь стационарными ( λп ≠ 0). При малых λп они будут почти стационарными. Это — квазистационарные уровни. Определим величину λп, считая ее малой. Для этого разложим член с eql в (4.18) по степеням ∆k = k — ko, где k0 — один из корней уравнения (4.19), для стационарных состояний потенциальной ямы, а в член с e-gl подставим k = k0; замечая, что
получим
Отсюда находим ∆k
При этом
малую поправку к действительной части k0 мы
также
можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же
часть будет равна .
' (99.21)
Пренебрегая также малой поправкой к действительной части , k в (4.13), мы можем положить . Из (4.13) получаем
. (4.22)
Сравнивая это с предыдущим выражением для ∆k, мы находим
(4.23)
Имея в виду, что есть скорость частицы v0 внутри барьера и что k0 ≈ 1/r1 = 1/r0 (ro радиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)
(4.24)
Эта формула имеет простое наглядное толкование. есть число ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.
Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера
.
Рост ψ111 вытекает из требования, чтобы имелось только, излучение, и отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ψ1 |2 внутри самого барьера была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось все время от t=∞) и что к моменту начала излучения | ψ1 |2 было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ψ111 > ∞ при r → ∞, вывод, относящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное, решение справедливо; лишь для небольших r, именно для
Отметим, что в связи с формулой (4.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное вами состояние
не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стационарные состояния гармонически зависят от времени).
Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить ψ (г, t) по собственным функциям ψE (r) оператора. Так как U (r) > 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 ≤ E < +∞ ; Если положить
(4. 26)
то w (Е) dE'= | С (Е) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией ψ (r, t) (4.25), так как она правильна лишь для не очень больших r. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ψ(г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функций ψ (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции ψ (г, 0) соответствует тому факту, что при t = 0 частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду a (t)-, с которой представлено состояние ψ (r, 0) в состоянии ψ (r, t). Имеем
(4. 27)
Подставляя сюда ψ (r, t) и ψ* (г, 0) из (4.26) и пользуясь ортогональностью функций ψе (r), найдем
(4.28)
Величина Р (t) = | a (t) |2 дает, очевидно, закон распада состояния ψ{г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ω (Е) dE в начальном состоянии.
Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем ψ (г, 0) так, чтобы ψ (г, 0) = ψ (г) внутри барьера и ψ (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь ψ (г, t) из (4.25) в (4.27), мы можем игнорировать возрастание ψ 0 (г) вне барьера, так как там ψ (r, 0) = 0. В силу совпадения ψ (r, 0) и ψ (r) внутри барьера и считая, что ψ (г, 0) нормировано к 1, получим
(4.29)
На основании (4.28), теперь нетрудно убедиться, что w {E) dE должно быть равно
(4.30)
т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения энергии. Величину называют шириной квазистационарного уровня E0. Если через τ = 1/λ обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии ψ (г, 0) = ψ0 (г), то мы получаем
(4.31)
— соотношение между шириной квазистационарного уровня и длительностью жизни частицы на этом уровне.
