Вывод уравнения Шрёдингера

Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величина­ми Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справед­ливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в тео­рию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в кван­товой механике принимается в качестве одного из основных по­стулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.

Если волновые функ­ции, описывающие какие-то два состояния частицы, то всякая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами с1Ψ1 + с2Ψ2    представляет также волновую функцию той же ча­стицы, описывающую какое-то ее состояние. Найдя Ψ указан­ным путем, можно в дальнейшем определить и плотность ве­роятности Ψ*Ψ в состоянии Ψ.

Оправданием такого принципа суперпозиции является согла­сие с опытом вытекающих из него следствий. Является ли прин­цип суперпозиции точным законом природы, или он верен толь­ко в линейном приближении, этот вопрос не может считаться выясненным.

Подчеркнем особо, что физический смысл волновой функции Ψ связан не только с ее модулем, но и с ее фазой, определяемой мнимой частью этой функции. Если бы речь шла о волновой функции только одного состояния, то можно было бы ограничиться од­ним только модулем. Но если речь идет о наложении состояний, то происходит их интерференция, а она определяется относи­тельной разностью фаз волновых функций, описывающих эти состояния.

Частота волны де Бройля ω и вообще частота волновой функции относятся к принципиально ненаблюдаемым величи­нам. Этим можно воспользоваться, чтобы перейти к квантовой механике в нерелятивистской форме. И в классической меха­нике обширная область явлений охватывается в нерелятивист­ском приближении. То же может быть сделано и в квантовой механике. К тому же здесь переход к релятивистскому рас­смотрению осложняется следующим обстоятельством. В сильных полях, когда энергия поля (например, γ-кванта) превосходит 2mес2, начинается рождение пар электрон-позитрон. То же наблюдается в аналогичных случаях и для других частиц. По этой причине последовательная релятивистская квантовая меха­ника не может быть теорией одного тела (одной частицы). Теория одного тела возможна только в нерелятивистском прибли­жении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только нереля­тивистской квантовой механикой.


В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-преж­нему пользоваться соотношениями:                      

                   E=ħω,                                                               (3)

(Здесь и далее: Е – энергия объекта (кинетическая), -импульс, - волновой вектор,  ħ – постоянная Планка, делённая на 2π, ħ = 1,05459∙10-34 Дж∙с, ω – частота (волн де Бройля)).

Однако собственную энергию частицы m0c2 учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую ча­стоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения

E = р2/2m, и закон дисперсии записывается в виде

 ω=(ħ/2m)∙k2                                   (4)

Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:

                                    υф = ω/k = ħk/2m = υ/2             (5)           (здесь k=2π/λ, - волновое число)           

Однако это не может отразиться на физических выводах тео­рии, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины - плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) - при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.

3.  Получение уравнения Шрёдингера

Основная задача вол­новой механики состоит в нахождении волновых функ­ций и связанных с ними физических следствий в самых разно­образных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это - основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нереляти­вистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медлен­ных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид си­ловых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоян­ная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Сило­вые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособ­лены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, что­бы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерфе­ренцией и дифракцией волн вещества.

При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что од­ним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение,   удовлетворяющее перечисленным  выше условиям, решением которого является  эта  волна.  

Дифференцирование  (1) по x, y, z даст:

                                                      



Сложением полученных вторых производных найдем:

                                                     

Учитывая соотношения (3) найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:

                                                                                     (6)

Это дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина  p предполагалась постоянной, а потому уравнение (6) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.

Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:

                                                                               

Учитывая (3), находим что , таким образом можно записать:

                                                                                                               (7)

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией E. Однако, выразим из (7) энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:

                                                (7*)


Учтём, что в нерелятивистской механике, в отсутствии потенциальных сил,  E= p2/2m. Подставив в эту формулу полученные выражения для энергии и импульса, придём к однородному линейному уравнению

                                                             

                                                                                              (8)

Это уравнение уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Это уравнение и есть уравнение Шрёдингера в отсутствии силовых полей.

Обобщим теперь полученное уравнение (8) на случай движений в си­ловых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуют­ся потенциальной функцией или потенциальной энергией U(). Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии,  Значит,  одинаковую  размерность  имеют

и величины и U()Ψ. Поэтому прибавление в правой ча­сти уравнения (8) слагаемого U()Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение

                                           (9)

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шрёдингера. Это так называемое уравнение Шрёдингера, зависящее от времени. Его также называют общим уравнением Шрёдингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шрёдингера, ко­нечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шрёдингера – существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шрёдингера является только опыт – опытная проверка всех выво­димых из него следствий. Такую проверку уравнение Шрёдингера выдержало.

В уравнении  (9) в неявной форме уже заложена двой­ственная – корпускулярно-волновая –природа    вещества.    Со­гласно интерпретации волновой функции Ψ частица не локали­зована.   Она,   как принято говорить, с определенной вероят­ностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при на­писании уравнения   (9)  это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т. е. под U следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех воз­можных  положений  ее  и  их  вероятностей.  На  самом  деле  в уравнении  (9)  это не предполагается. Потенциальная функция U()  рассматривается в нем так же,  как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точеч­ной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.

Уравнение Шрёдингера – первого  порядка по времени. Отсюда следует, что заданием  волновой функции Ψ  во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется   функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа  причинности в квантовой механике.  Ибо вы­ражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами  вероятностными  соотношениями.  Поэтому квантовая механика, по крайней мере в  современной ее форме, является принципиально статистической теорией.

Страницы: 1, 2, 3, 4



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать