Вывод уравнения Шрёдингера

Уравнение   Шрёдингера,    как    это требовалось с самого начала    для    выполнения   принципа  суперпозиции, линейно  и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип  суперпозиции сводится  к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1  + α2Ψ2  с постоянными  (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1  и  Ψ2 описывают какие-либо два со­стояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1  + α2Ψ2  также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же веществен­ную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1  + α2Ψ2 нормировать (если интеграл ,  взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационар­ные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдае­мые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые мо­гут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функ­ции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со време­нем) силового поля U не зависит явно от времени. В по­следнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

                                                                                            (10)

— полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал                       (11)

Подстановка функции  (10)  в урав­нение (9) с учётом (11) дает:

                                            

Сокращая все члены этого уравнения на общий множи­тель e-i(E/ħ)t  и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

                                                                                     (12)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения  – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем сле­дующих рассуждений. Из опытов по дифракции микро­частиц вытекает, что параллельный пучок частиц обла­дает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской вол­ны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:

                                                                  

Это выражение часто пишут в комплексном виде:

                                                                                                    (13)

подразумевая, что надо принимать во внимание веще­ственную часть этого выражения.

Согласно гипотезе де Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой ω=Е/ħ и длиной волны λ = 2πħ/р. Заменяя ω и λ  в выражении (13) соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:

                                                                            (14) 

Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (14), воспользуемся соотноше­нием между Е и p:

                                                     E= p2/2m.                                                (15)

Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:

                                          

Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функ­цию Ψ и ее производные:

                                    

Как видим прослеживается полная аналогия с (7*). Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:

                                           

Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или z), фаза колебаний будет зависеть от всех коор­динат: х, у и z. В этом случае диф­ференциальное уравнение имеет вид:

                                       

Полученное уравнение совпадает с уравнением Шрёдингера (8) (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационар­ных состояний:

                                                                  (16)

Это уравнение совпадает с уравнением (12) для случая U = 0.

Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует об­общить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е сла­гается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.

В случае свободной частицы полная энергия Е сов­падает с кинетической Т, так что величину Е в уравне­нии (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для та­кой частицы под величиной Е: полную или только кине­тическую энергию. Если принять, что Е – полная энер­гия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. По­этому следует признать, что при наличии сил, действую­щих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е U. Про­изведя такую замену, мы придем к уравнению (12).

Приведенные нами рассуждения не могут рассматри­ваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установ­лению вида волнового уравнения для микрочастицы. До­казательством же правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.


4.        Основные свойства уравнения Шрёдингера

Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волно­вая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле

U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность послед­них, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаменталь­ное значение во всем математическом аппарате квантовой меха­ники.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотро­пией пространства и принципом относительности Галилея. В клас­сической механике эти требования приводят к квадратичной за­висимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где по­стоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной   частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

                                                                              (17)


Подставив сюда оператор импульса , получим гамильтониан свободно движущейся


частицы в виде:

                                     

где Δ= д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дz2 — оператор Лапласа.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являю­щейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:

                                                   (18)

где U(x,y,z) – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем прост­ранстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро - как l/rs с s < 2.

Пусть Umin есть минимальное значение функции U(х, у, г). Поскольку   гамильтониан   частицы  есть  сумма   двух   членов – операторов кинетической  и потенциальной U энергий, то среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сумме Ē =  + Ū. Но все собственные значения оператора  (совпадаю­щего с гамильтонианом свободной частицы) положительны; по­этому и среднее значение > 0. Имея также в виду очевидное не­равенство Ū > Umin, найдем, что и Ē > Umln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии:

Страницы: 1, 2, 3, 4



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать