Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство
Задание 1
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Таблица 1
Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
13
14
15
16
Y(t)
28
36
43
28
31
40
49
30
34
44
52
33
39
48
58
36
Решение
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
, (1)
где k – период упреждения;
Yр(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;
a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
; (2)
; (3)
. (4)
Параметры сглаживания a1, a2 и a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).
Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:
. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 - 9:
; (6)
; (7)
; (8)
. (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:
Таблица 2
t
Y(t)
t-tcp
Y-Ycp
(t-tcp)2
(Y-Ycp)(t-tcp)
1
28
-3,5
-7,625
12,25
26,6875
2
36
-2,5
0,375
6,25
-0,9375
3
43
-1,5
7,375
2,25
-11,0625
4
28
-0,5
-7,625
0,25
3,8125
5
31
0,5
-4,625
0,25
-2,3125
6
40
1,5
4,375
2,25
6,5625
7
49
2,5
13,375
6,25
33,4375
8
30
3,5
-5,625
12,25
-19,6875
S
36
285
0
0
42
36,5
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)
t
1
2
3
4
5
6
7
8
Y(t)
28
36
43
28
31
40
49
30
Yp(t)
32,583
33,452
34,321
35,190
306,060
36,929
37,798
38,667
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
