Линейные электрические цепи

ί6 + ί4 – ί1 = 0,284 + 0,242 – 0,526 = 0

ί2 – ί3 – ί4 = 0,417 – 0,175 – 0,242 = 0

Метод узловых потенциалов

Дано:

R1 = 19,5 Ом E1 = 25,8 В

R2 = 60 Ом E2 = 37,5 В

R3 = 90 Ом E3 = 0 В

R4.1 = 150 Ом I1 = 0,04 А

R4.2 = 600 Ом I2 = 0 А

R5 = 165 Ом I3 = 0 А

R6.1 = 40 Ом R6.2 = 27,5 Ом

Решение:

1. Определяем собственную проводимость узла, которая равна сумме проводимостей, сходящихся в узле

g1 = 1 / R1 = 0,05 g4 = 1 / R4 = 0,01

g2 = 1 / R2 = 0,02 g5 = 1 / R5 = 0,01

g3 = 1 / R3 = 0,01 g6 = 1 / R6 = 0,01

2. Определяем взаимную проводимость в узле, которая равна проводимости ветви, соединяющей два узла

g1.1 = g4 + g2 + g3 = 0,04 g1.2 = g2.1 = g3 = 0,01

g2.2 = g3 + g5 + g6 = 0,03 g2.3 = g3.2 = g5 = 0,01

g3.3 = g1 + g2 + g5 = 0,08 g1.3 = g3.1 = g2 = 0,02

3. Определяем сумму токов от источников, которые находятся в ветвях, сходящихся в данном узле

I1.1 = – E2 / R2 = – 37,5 / 60 = – 0,625

I2.2 = 0

I3.3 = E1 / R1 + E2 / R2 = 25,02 / 19,5 + 37,5 / 60 = 1,905

4. Записываем в общем виде систему уравнений

u1 · g1.1 – u2 · g1.2 – u3 · g1.3 = I1.1

– u1 · g2.1 + u2 · g2.2 – u3 · g2.3 = I2.2

– u1 · g3.1 – u2 · g3.2 + u3 · g3.3 = I3.3

5. Переписываем систему уравнений с числовыми коэффициентами

0,04 u1 – 0,01 u2 – 0,02 u3 = – 0,63

– 0,01 u1 + 0,03 u2 – 0,01 u3 = 0

– 0,02 u1 – 0,01 u2 + 0,08 u3 = 1,91

6. Считаем определители системы

0,04 – 0,01 – 0,02

Δ = – 0,01 0,03 – 0,01 = 0,000096 – 0,000002 – 0,000002 –

– 0,02 – 0,01 0,08

– 0,000012 – 0,000004 – 0,000008 = 0,000068

– 0,63 – 0,01 – 0,02

Δ1 = 0 0,03 – 0,01 = – 0,001512 + 0,000191 + 0,001146 +

1,91 – 0,01 0,08

+ 0,000063 = – 0,000112

0,04 – 0,63 – 0,02

Δ2 = – 0,01 0 – 0,01 = – 0,000126 + 0,000382 + 0,000764 –

– 0,02 1,91 0,08

– 0,000504 = 0,000516

0,04 – 0,01 – 0,63

Δ3 = 0,01 0,03 0 = 0,002292 – 0,000063 – 0,000378 –

– 0,02 – 0,01 1,91

– 0,000191 = 0,00166

7. Определяем узловые напряжения

U1.1 = Δ1 / Δ = – 1,647 В

U2.2 = Δ2 / Δ = 7,588 В

U3.3 = Δ3 / Δ = 24,412 В

8. Используя II закон Кирхгофа, определяем токи в ветвях

ί1 = (E1 – U3) / R1 = (25,02 – 24,412) / 19,5 = 0,03 А

ί2 = (– E2 – U1 + U3) / R2 = (– 37,5 + 1,647 + 24,412) / 60 = – 0,19 А

ί3 = (U1 – U2) / R3 = (– 1,647 – 7,588) / 90 = – 0,1 А

ί4 = U1 / R4 = – 1,647 / 120 = – 0,01 А

ί5 = (– U3 + U2) / R5 = (– 24,412 + 7,588) / 165 = – 0,1 А

ί6 = U2 / R6 = 7,588 / 67,5 = 0,11 А

9. Проверка

ί5 + ί1 – ί2 = – 0,1 + 0,03 + 0,191 = 0,12

ί3 – ί6 – ί5 = – 0,1 – 0,11 + 0,11 = – 0,11

ί6 + ί4 – ί1 = 0,11 – 0,01 – 0,03 = 0,07

ί2 – ί3 – ί4 = – 0,19 + 0,1 + 0,01 = – 0,08

ЗАДАЧА 2 Линейные электрические цепи синусоидального тока

В сеть переменного тока с действующим значением напряжения U включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей. Определить показания приборов, реактивную мощность цепи, коэффициент мощности и построить векторную диаграмму напряжений. Указать на схеме положительное направление токов в ветвях и обозначить эти токи.

Дано:

R1 = 8 Ом

R2 = 2 Ом

U = 127 В

јx c = 17 Ом

Решение:

1. Примем начальную фазу напряжения равной нулю

Ů = 127 е ј0 В

2. Определяем комплексное сопротивление

z 1 = R1 = 8 Ом

z 2 = R2 – јx c = √2 2 + 17 2 · е – ј arctg 17/4 = 17,1 е – 77

3. По закону Ома определяем комплексные точки

İ 1 = Ů / z 1 = 127 е ј0 / 8 = 15,9 е ј0 А

İ 2 = Ů / z 2 = 127 е ј0 / 17,1 е – 77 = 7,4 е ј 77 =

= 7,4 · cos 77 + ј 7,4 · sin 77 = 1,7 + ј 7,2

4. Определяем полный комплексный ток

İ = İ 1 + İ 2 = 15,9 е ј0 + 7,4 е ј 77 = 15,9 cos 0 + ј 15,9 sin 0 +

+ 7,4 cos 77 + ј 7,4 sin 77 = 17,5 + ј 7,2 =

= √17,5 2 + 7,2 2 · е ј arctg 7,23/17,544 = 18,9 · е ј 22

А 18,9 А

А1 15,9 А

А2 7,4 А

5. Определяем полную мощность

S = İ · Ů = 18,9 е ј 22 · 127 е ј0 = 2410,5 е ј 22 =

= 2410,5 cos 22 + ј 2410,5 sin 22 = 2234,9 + ј 902,9

İ = 18,9 · е ј 22 S = 2410,5 ВА

P = 2234,9 Вт Q = 902,9 ВАР

6. Определяем коэффициент мощности

cos φ = P / S = 0,93

ЗАДАЧА 3 Линейные электрические цепи синусоидального тока

В цепь переменного тока с мгновенным значением напряжения

U = U m sin ωt промышленной частоты f = 50 Гц включены резистор и конденсатор. Определить показания приборов, реактивную и полную мощность цепи. Построить треугольник напряжений и векторную диаграмму напряжений.

Дано:

R = 2 Ом

Um = 282 В

x c = 17 Ом

Решение:

1. Определяем напряжение на зажимах цепи

U = Um / √2 = 282 / 1,41 = 200 В

2. Определяем накопленное емкостное сопротивление

– јx c = – ј 17 = 17 е – ј 90

3. Определяем полное комплексное сопротивление цепи z

Z = R – јx c = 2 – ј 17 = √2 2 + 17 2 · е – ј arctg 17/2 = 17,1 е – ј 83

4. Начальную фазу напряжения примем равной нулю

Ů = 200 е ј0 В

5. Определяем комплексный ток по закону Ома

İ = Ů / Z = 200 е ј0 / 17,1 е – ј 83 = 11,7 е ј 83

тогда показания амперметра IА = 11,7 А

6. Определяем комплексное напряжение на R

ŮR = I R = 11,7 е ј 83 · 2 = 23,4 е ј 83 =

= 23,4 cos 83 + ј 23,4 sin 83= 2,9 + ј23,2

7. Определяем напряжение на емкости

Ůc = İ (– ј x c) = 11,7 е ј 83 · 17 е – ј 90 = 198,6 е – ј 7 =

= 198,6 cos 7 – ј 198,6 sin 7 = 197,1 – ј 24,2

тогда показания вольтметра Uc = 198,6 В

8. Определяем полную комплексную мощность цепи

Ŝ = I* · Ů = 11,7 е -ј 83 · 200 е ј0 = 2336 е -ј 83 =

= 2336 cos 83 – ј 2336 sin 83 = 284,7 – ј 2318,6

S = 2336 ВА

P = 284,7Вт Q = 2318,6 ВАР

9. Определяем показатель фазометра

φ = φu – φί = 0 – 83 = – 83

тогда показания фазометра cos φ = cos (– 83) = 0,12

ЗАДАЧА 4 Трехфазные электрические цепи синусоидального тока

В трехфазную сеть с линейным напряжением Uл (действующее значение напряжения) по схеме «треугольник/треугольник» включены активно-индуктивные приемники. Определить фазные и линейные токи в нагрузке, активную мощность всей цепи и каждой фазы отдельно.

Дано:

RАВ = 8 Ом Uл = 127 В XСА = 3 Ом RСА = 2 Ом

RВС = 3 Ом XАВ = 6 Ом XВC = 17 Ом

Решение:

1. Т. к. рассматриваем соединение «треугольник/треугольник», то

Uп = Uдо

ŮАВ = 127 е ј 0

ŮВС = 127 е – ј 120

ŮСА = 127 е ј 120

2. Определяем комплексное полное сопротивление фаз

zАВ = RАВ + ј xАВ = 8 + ј 6 = √82 + 62 · е ј arctg 6/8 = 10 е ј37

zВC = RВC + ј xВC = 3 + ј 17 = √32 + 172 · е ј arctg 17/3 = 17,3 е ј80