Будем иметь:
Итак, ІІ закон Кирхгофа гласит: сумма падений напряжений во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС электрической энергии, действующих в этом контуре.
Если в k-той ветви содержится в общем случае участок с активным сопротивлением Rk, катушка индуктивности Lk и конденсатор с ёмкостью Ck, то падение напряжения вдоль всей этой ветви будет складываться из падений напряжений URk, UCk, ULk на этих элементах, т.е.
При составлении уравнений по ІІ закону Кирхгофа должны быть заданы положительные направления токов ik и ЭДС ek источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжений uk считаем совпадающими с положительными направлениями токов ik
Воздействия в электрических цепях
Классификация воздействий в электрических цепях
Воздействиями в электротехнике называют различные проявления электромагнитных сил, приводящие к изменению состояния электрической цепи. Под влиянием воздействий в электрической цепи возникают реакции, которые определяются как видом воздействия, так и характеристиками самой цепи. При этом основными величинами, характеризующими состояние электрической цепи, являются электрические напряжение и ток.
Все воздействия в электрических цепях можно разделить по их назначению на регулярные, или детерминированные, и нерегулярные, или случайные.
Детерминированными называют воздействия, заданные в виде некоторой определённой функции времени. Такие воздействия обычно используются для передачи энергии или при измерениях. Детерминированные воздействия можно разделить на периодические и непериодические.
Периодическими называют воздействия, для которых существует отрезок времени Т, отвечающий условию периодичности х(t) = x(t + nT), где n = ± 1, ± 2…
К периодическим воздействиям относятся гармонические колебания и периодические последовательности импульсов различной формы.
Если воздействия не отвечают условию гармоничности, то они называются непериодическими.
К непериодическим воздействиям относят одиночные импульсы или группы импульсов различной формы.
Случайными называют воздействия, являющиеся произвольными функциями времени. К случайным воздействиям относятся различные виды помех от действия источников внутренних шумов в электронных приборах, резисторах и других элементах электрических цепей.
Гармонические воздействия являются основным видом возмущений и реакций в энергетических сетях и системах.
Генерирование гармонических напряжений и токов в диапазоне частот 10 – 103 Гц обычно производится электромеханическими генераторами, а более высоких частот – с помощью электронных устройств.
К гармоническим воздействиям относят синусоидальные и косинусоидальные функции, аргументом которых является время или угол
Значение напряжения, тока, ЭДС в любой момент времени называют мгновенным.
T = 2π – период
f = 1/T – частота ЭДС, напряжения, тока (Гц)
Um – амплитуда (максимальное значение)
ω = 2πf – скорость изменения аргумента, называемая угловой частотой (рад/сек, 1 рад = 57,3о)
Ψ – начальная фаза, определяемая величиной смещения гармонической функции относительно начала координат.
За аргумент функций может быть принято время (t) или угол (ωt). ωt + Ψ – называется начальной фазой (углом).
Ток определён, если известна его зависимость от времени i = f(t) и указано положительное направление тока.
За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением R выделяется тепловая энергия
Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, что и при переменном.
Закон Ома (в обобщённой форме)
Закон Ома применяется для расчёта токов и напряжений в отдельных ветвях цепи или для одноконтурной замкнутой цепи, не имеющей разветвлений.
При написании закона Ома следует прежде всего выбрать произвольно некоторое положительное направление тока.
Для ветви, состоящей только из сопротивлений и не содержащей ЭДС (см. рис.1 для ветви ba), при положительном направлении тока от (·) b к (·) a имеем:
, где
φb, φa – потенциалы точек (узлов a,b);
Uba – разность потенциалов между точками b и a;
Rba - ??? сопротивление цепи, Rba=R1+R2
Рис.1
Для ветви, состоящей из сопротивлений и ЭДС (ветвь acb), рис.1 ток:
, где
Uab – напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;
ΣE – алгебраическая сумма ЭДС, находящаяся в этой ветви
Применение законов Кирхгофа
1. Устанавливается условно положительное направление тока.
2. Выбираются независимые контуры (контур, содержащий хотя бы один новый элемент).
3. Составляются уравнения по I закону Кирхгофа. Их число равно:
(1)
где Ny – число узлов;
Nн – число источников напряжений, если они расположены между узлами, не имеющими сопротивлений.
4. Составляется уравнение по II закону Кирхгофа:
(2)
где NB – число ветвей, Ny – число узлов;
NT – число источников тока, если они расположены между узлами, не имеющими проводимостей.
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, т.е. не содержащие источников тока.
Выбирается направление обхода контуров (произвольно).
При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранными направлениями обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного обхода, - отрицательными.
При записи правой части равенства со знаком «плюс» берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), и со знаком «минус», падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.
Решение:
КI = Ny – 1 – Nн = 4 – 1 – 0 = 3
Выбираем (·)a, (·)b, (·)c.
(·)a: I3 – I1 = 0
(·)b: I4 – I2 – I3 = 0
(·)c: I6 + I1 – I4 = 0
KII = NB – (Ny – 1) – NT = 6 – (4 – 1) – 0 = 3
R3 I3 + R1 I1 + R4 I4 = E1 (I)
R1 I1 – R5 I5 – R6 I6 = E1 (II)
R2 I2 + R6 I6 + R4 I4 (III)
Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений исходное напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения Umn можно написать уравнение для контура mncb или nmbc:
Umn + I4 R4 + I3 R3 = E1 или - I3 R3 – Umn – I4 R4 = - E1
откуда легко можно найти искомое напряжение (необходимо при рассмотрении метода узловых потенциалов)
Анализ линейных электрических цепей при гармонических воздействиях.
Гармоническое возмущение – ток, напряжение или ЭДС, меняющиеся по гармоническому закону, записываются:
i(t) = Imsin(ωt + Ψi);
u(t) = Umsin(ωt + Ψu);
e(t) = Emsin(ωt + Ψe).
Im, Um, Em – амплитуды;
(ωt + Ψ) – фазы;
Ψ – начальные фазы этих величин.
Их действующие значения равны:
Амперметры и вольтметры, предназначенные для измерения тока, напряжения и ЭДС, меняющихся по гармоническому закону, градуированы в действующих значениях измеряемых величин.
Мы будем изучать методы анализа установившихся режимов линейных электрических цепей, составленных активными сопротивлениями, индуктивностями и ёмкостями при гармонических воздействиях. Сложность расчёта таких цепей обусловлена тем обстоятельством, что напряжения на индуктивностях и ёмкостях сдвинуты по фазе относительно токов через них протекающих.
Прежде всего, рассмотрим основные соотношения в линейных пассивных элементах цепи при гармоническом воздействии.
Активное сопротивление.
u = Umsinωt
Индуктивный элемент.
i = Im sinωt
Емкостной элемент.
u = Um sinωt
Анализ последовательной цепи переменного тока
Мы показали, что при заданном токе напряжения пассивных элементов будут следующими:
Все рассмотренные элементы объединим в последовательную цепь; ток в ней известен. Определим параметры мгновенного значения ЭДС.
Неизвестная ЭДС также будет иметь вид гармонической функции.
-
Данное выражение представляет собой уравнение для электрической цепи, записанное по II закону Кирхгофа (для установившегося режима).
Полагая, в частности, ωt = π/2 и ωt = 0, получим RIm = Umcosφ; (ωL – 1/ωC)Im = Umsinφ.
Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, получим:
