[R2 + (ωL – 1/ωC)] Im2 = Um2
Откуда находим связь между амплитудами тока и напряжения:
Если в той же последовательной цепи заданной будет ЭДС: e = Emsinωt, то i = Imsin(ωt – φ).
Полученные соотношения можно использовать для расчёта мгновенных значений напряжения и тока в последовательной цепи, питаемой от источника гармонической ЭДС.
Рассмотрим несколько примеров.
Задана ЭДС.
Необходимо определить i(t), uR(t), uL(t), uC(t)
Задано uC (t)
Анализ параллельной цепи переменного тока
При заданном гармоническом напряжении, ток в каждом элементе электрической цепи будет следующим:
Объединим эти элементы в параллельную цепь и зададим ЭДС источника. Неизвестный ток этого источника найдём в виде i=Im sin(ωt – φ)
Y – полная проводимость электрической цепи;
g – активная проводимость;
bL – bC – реактивная проводимость.
Напряжения, сопротивления и проводимости R, L, C при синусоидальном токе i = Im sinωt
|
R |
L |
C |
|
|
|
|
Таблица. Описание элементов R, L, C в комплексной форме.
Основные формулы для расчёта цепей с последовательным и параллельным соединением элементов R, L, C
|
Последовательное соединение |
Параллельное соединение |
Цель работы – исследование электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, C при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.
Общие сведения
В работе сначала определяются параметры катушки методом амперметра, вольтметра и ваттметра при питании напряжения частоты f1 = 50 Гц.
Схема для определения параметров катушки показана на рис. 1
Рис. 1
По изменённым значениям тока IK, напряжения UK и мощности PK можно определить полное, активное и индуктивное сопротивления катушки по формулам
, , , (1)
а также индуктивность и сдвиг по фазе между напряжением и током
; (2)
- угловая частота.
При последовательном соединении элементов R, L, C полное сопротивление цепи определяется выражением
(3)
где R – активное сопротивление цепи;
x – реактивное сопротивление цепи.
Реактивное сопротивление цепи при этом определяется выражением
(4)
где xL = ωL – индуктивное сопротивление цепи;
xC = 1/ωC – емкостное сопротивление цепи.
Действующее значение тока в цепи определяется выражением
(5)
где U – действующее значение напряжения на зажимах цепи.
При последовательном соединении R, L и C при определённых значениях xL и xC имеет место явление, называемое резонансом напряжения.
Резонансом напряжений называется такое состояние электрической цепи при последовательном соединении элементов R, L, C (рис. 2), когда сдвиг по фазе между напряжением на зажимах цепи и током в ней равен нулю, при этом xL = xC [1,2].
Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током и равно
(6)
Напряжение на емкости отстаёт от тока по фазе на 900
(7)
Напряжение на индуктивности опережает ток на 900
(8)
Средняя мощность, расходуемая в цепи, определяется по формуле
(9)
Сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней определяется выражениями:
; ; (10)
При резонансе cosφ = 1, а ток в цепи достигает максимального значения.
Если катушка индуктивности L имеет собственное сопротивление RL, то падение напряжения на ней равно
(11)
При этом полное активное сопротивление цепи будет равно сумме внешнего сопротивления R1 и собственного сопротивления катушки RL
Векторная диаграмма напряжений и тока в цепи при индуктивном характере нагрузок показана на рис. 3.
При резонансе φ = 0, и, следовательно, xL = xC. При постоянных L и C это равенство имеет место на резонансной частоте
или (12)
Резонансное значение тока в цепи
(13)
Рис. 3
Напряжение на активном сопротивлении R при резонансе равно напряжению источника питания.
(14)
Напряжение на емкости и на индуктивности при резонансе равны между собой
(15)
где - добротность контура;
- волновое или характеристическое сопротивление контура.
Средняя мощность при резонансе
(16)
Векторная диаграмма напряжений и токов при резонансе напряжений показана на рис. 4. Настроить цепь в резонансе с частотой источника питания можно также изменением индуктивности на ёмкости. Графики изменений тока в цепи, сдвига фаз и напряжений на элементах схемы при изменении частоты источника питания называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками контура и показаны на рис. 5.
Рис. 4 Рис. 5
Частотные характеристики могут быть построены по уравнениям (3) ÷ (12). Из выражения (5) следует
(17)
Максимумы UL и UC достигаются при частотах, отличных от резонансной частоты ωР. UL max наступает при частоте , а UC max – при частоте
Частотная характеристика тока позволяет экспериментально определить добротность контура.
Если определить полосу частот , пропускаемых контуром на уровне , то добротность контура может быть найдена из выражения
(18)
На границах полосы пропускания сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней составляет φ = ± 450.
Содержание работы
1. Определение параметров катушки индуктивности методом амперметра, вольтметра и ваттметра при питании напряжением частоты 50 Гц.
2. Исследование электрической цепи с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.
Описание лабораторной установки
Схема экспериментальной установки для исследования электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, C представлена на рис. 6.
Рис. 6
В её состав входят ЛАТР (лабораторный автотрансформатор), на выходных клеммах которого устанавливается напряжение U = 40 В.
Вольтметр V1 предназначен для измерения действующего значения напряжения, прикладываемого к электрической цепи; соответственно измеряет действующие значения напряжения на элементах R, L, C.
Амперметр
А измеряет действующее значение тока в цепи. В качестве R1 используется реостат (Rреост = 30 Ом, 5 А), емкости С –
магазин емкостей
(С = 1 мкФ ÷ 20 мкФ), индуктивности L
– катушка индуктивности (с параметрами L и RL, определяемыми экспериментально).
Цель работы – исследование электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, C при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.
Общие сведения
При параллельном соединении элементов R, L, C (рис. 1) полная проводимость равна (1)
где g = 1/R – активная проводимость цепи;
b – реактивная проводимость цепи.
Реактивная
проводимость цепи при этом определяется выражением
(2)
Рис. 1
Ток в цепи определяется выражением
(3)
Ток в активной проводимости совпадает с напряжением по фазе
(4)
Ток в ёмкости определяет напряжение по фазе на 900
(5)
Ток в индуктивности отстаёт от напряжения по фазе на 900
(6)
Средняя активность мощность, расходуемая в цепи
(7)
Сдвиг фаз между напряжением U на зажимах цепи и током I в ней определяется выражениями
(8)
(9)
Векторная диаграмма напряжения и токов в цепи показана на рис. 2 (при bC > bL).
Резонансом токов называется такое состояние электрической цепи при параллельном включении элементов R, L, C, когда сдвиг по фазе между напряжением на зажимах цепи и током в ней равны нулю, при этом bC = bL, а ток в неразветвлённой цепи имеет наименьшее значение.
При постоянных значениях L и C резонансная частота определяется выражением
Рис. 2
(11)
Резонансное значение тока в цепи
(12)
Ток в активной проводимости при резонансе равен полному току
(13)
Токи в ёмкости и индуктивности при резонансе равны между собой
(14)
где - добротность контура;
- волновая и характеристическая проводимость контура.
Средняя мощность при резонансе
(15)
Векторная диаграмма напряжения и токов при резонансе токов показана на рис. 3.
Настроить цепь в резонанс с частотой источника питания можно изменением индуктивности или ёмкости, а также с помощью изменения частоты источника питания.
Графики изменений токов цепи, сдвига фаз и напряжения на зажимах цепи при изменении частоты источника питания называются частотными характеристиками контура и показаны на рис. 4.
Рис. 3 Рис. 4
Частотные характеристики контура могут быть построены по уравнениям (3), (4), (5), (8), (9), (10).
Частотная характеристика тока позволяет определить экспериментально добротность контура
(16)
Если определить полосу пропускания частот , пропускаемых контуром на уровне , то добротность контура можно найти из выражения
(17)
На границе полосы пропускания сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней составляет φ = ± 450. Если катушка индуктивности L имеет собственное активное сопротивление (рис. 5), то ток в ней определяется выражением
(18)
Вычислив эквивалентные проводимости катушки
(19)
Рис. 5
перейдём к эквивалентной схеме с параллельным соединением R, L, C.
Полная активная проводимость эквивалентного параллельного контура равна сумме внешней проводимости и собственной активной проводимости gK катушки L
(20)
Эквивалентная индуктивность такого контура
(21)
Резонансная частота контура будет зависеть от собственного сопротивления RK катушки L
(22)
При относительно малом сопротивлении катушки RK >> ωL можно пользоваться выражениями (11) – (17).
Содержание работы
Исследование электрической цепи с параллельным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора при различных соотношениях индуктивного и ёмкостного сопротивлений.
Описание лабораторной установки
Схема экспериментальной установки для исследования электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, C представлена на рис. 6.
Рис. 6
В её состав входят ЛАТР (лабораторный автотрансформатор), на входных клеммах которого устанавливают напряжение U = 20 В.
Вольтметр V предназначен для измерения действующего значения напряжения, прикладываемого к электрической цепи. Амперметр А1 измеряет действующее значение тока в неразветвлённой части цепи, амперметры А2, А3, А4 измеряют действующие значения токов соответственно в резисторе (А2), конденсаторе (А3), катушке индуктивности (А4). В качестве резисторной нагрузки используется реостат (R1 = 300 Ом, 0,5 А), ёмкости С – магазин конденсаторов (С = 1 Мкф ÷ 20 Мкф), индуктивность L – катушка индуктивности (L = 50 мГн, RK = 30 Ом).
Информационно-методическое обеспечение дисциплины:
- Нейман Л.Р., Дениргян К.С. ТОЭ. Т1, Т2. - М.: Высшая школа, 1981.
- Бессанов Л.А. ТОЭ. Т1, Т2, Т3. - М.: Высшая школа, 1984.
- Ионкин П.А. и др. ТОЭ. Т1. - М.: Высшая школа 1981.
- Основы теории цепей /Г.В. Зевенс, П.А. Ионкин, А.В. Нетушин, С.В. Страхов/ М.: Высшая школа, 1989.
- Матхомов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. – М.: Высшая школа, 1990.
- Матхамов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. – М.: Высшая школа, 1990.
- Сборник задач и упражнений по ТОЭ под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982.
- Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1989.
- Задачник по ТОЭ– М.: Энергия, 1975.
