;
.
Напряжение на выводах генератора определяется аналогично:
;
.
Величина угла
;
.
ся частными производными угловых характеристик простейшей системы. Их аналитические выражения:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Так как рассматриваемая система – система четвертого порядка, то
; ;
;
;
,
Для соблюдения размерностей при расчете коэффициентов характеристического уравнения постоянные времени и подставляются в секундах, а постоянная инерции при подстановке ее значения в секундах должна быть поделена на .
;
;
;
;
.
Коэффициенты и целесообразно представить в виде двух слагаемых
и .
ставляющие и , содержащие коэффициент усиления системы, в большой степени влияют на величину коэффициентов характеристического уравнения и, тем самым, на устойчивость системы.
;
;
;
.
7. Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица и частотному критерию Михайлова
После вычисления коэффициентов характеристического уравнения заполняется квадратная табличка-матрица для определения устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица:
.
Так как рассматриваемое характеристическое уравнение имеет четвертый порядок, то единственным нетривиальным условием, определяющим устойчивое состояние системы, будет положительность предпоследнего определителя:
.
Из отрицательности предпоследнего определителя делаем вывод о неустойчивости системы. Определим нижний и верхний пределы, в которых должна лежать величина коэффициента усиления при обеспечении устойчивости системы.
Нижний предел определяется из условия нахождения коэффициента на грани нарушения тривиального условия, т.е. , откуда
. (7)
Верхний предел коэффициента усиления находится из условия :
(8)
.
Для систем более высокого порядка использование алгебраического критерия Гурвица превращается в весьма громоздкую операцию и затрудняет оценку параметров системы на ее устойчивость. Поэтому большой интерес представляет предложенный А.В. Михайловым достаточно простой, удобный и наглядный графоаналитический критерий устойчивости.
В данном случае рассматриваемое уравнение четвертого порядка
.
Обозначив характеристический многочлен, находящийся в его левой части, через , получим
.
Подставим теперь в это выражение вместо . При этом в общем случае не равно нулю, если только не является корнем рассматриваемого уравнения. В этом случае
,
где
(9)
Величина является комплексным числом, которое может быть изображено на комплексной плоскости. Если теперь начать изменять параметр от до , то конец вектора опишет на комплексной плоскости некоторую кривую, которая называется кривой Михайлова, являющейся годографом вектора при и дающей ответ об устойчивости системы.
Формулировка критерия устойчивости Михайлова такова.
Если результирующий угол поворота вектора при изменении от до равен , то система устойчива. Если же этот угол отличается от , то система неустойчива. При этом за положительный угол поворота считается направление против часовой стрелки. Для уравнения четвертой степени в устойчивой системе конец вектора должен повернуться вокруг начала системы координат на результирующий угол и описать годограф. Таким образом, для найденного получаем годограф следующего вида (рис.19).
Рисунок 19. Годограф Михайлова
Полученная кривая не удовлетворяет исходным условиям. Таким образом, и алгебраический критерий Гурвица, и критерий Михайлова показали, что система с коэффициентом усиления регулятора является неустойчивой.
8. Нахождение области допустимых значений параметра системы АРВ пропорционального действия –
Как было установлено в предыдущем пункте, система является неустойчивой при . Необходимо установить такое значение этого коэффициента, при котором корни характеристического уравнения движения системы располагаются только в левой полуплоскости. Это можно осуществить с помощью -разбиения по одному параметру. Для этого характеристическое уравнение необходимо привести к виду
,
где
– совокупность членов, не зависящих от ;
– совокупность членов, содержащих множитель.
;
;
;
.
Граница - разбиения определится при уравнением
, (10)
откуда
.
По этому выражению находится значение параметра (в общем случае комплексного ), при котором уравнение (10) имеет один мнимый корень. Давая значение от до , можно вычислить и и построить на комплексной плоскости границу -разбиения (рис. 20). Теперь при изменении параметра от до в плоскости движемся по границе - разбиения и штрихуем ее слева. Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Поэтому в этой области будет содержаться наибольшее число левых корней.
Рисунок 20. Кривая D-разбиения по одному параметру
Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, зададимся каким-либо значением , лежащим в этой области. Пусть . Используя критерий Михайлова, проверим систему на устойчивость.
Для этого пересчитаем коэффициенты, содержащие :
;
Тогда по формуле (9):
.
Остальные значения останутся прежними.
По полученным значениям строим годограф (рис.21):
Рисунок 21. Годограф Михайлова для
Вид годографа удовлетворяет необходимым условиям, поэтому данная область является областью устойчивости.
Так как исследуемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяется только отрезок устойчивости, представляющий собой отрезок вещественной числовой оси, лежащей в области устойчивости , (рис. 20). Причем, координаты точек пересечения вещественной оси кривой -разбиения и равны значениям этих же коэффициентов, найденных по выражениям (7) и (8) в соответствии с алгебраическим критерием Гурвица.
9. Расчет динамической устойчивости системы
Заключительным этапом при выполнении курсовой работы является проверка системы на динамическую устойчивость при больших возмущениях в системе, вызванных коротким замыканием вблизи шин передающей станции и последующим его отключением.
Расчет динамической устойчивости производится при условии сохранения неизменной величины переходной ЭДС у генераторов станции. Для проверки системы на динамическую устойчивость необходимо на одном графике построить три угловых характеристики передачи, соответствующие нормальному (I), аварийному (II) и послеаварийному (III) режимам работы. Амплитуды указанных характеристик определяются по схемам замещения системы для каждого из указанных режимов работы (рис. 22, 23 и 24).
Сопротивление шунта короткого замыкания, входящее в схему замещения системы в аварийном режиме, определяется сопротивлениями схем замещения обратной и нулевой последовательностей, способ соединения которых между собой
Рисунок 22. Схема замещения системы в нормальном режиме работы
Рисунок 23. Схема замещения системы в аварийном режиме работы
Рисунок 24. Схема замещения системы в послеаварийном режиме работы
определяется видом короткого замыкания. Так, для трехфазного короткого замыкания , двухфазного – , однофазного – и для двухфазного короткого замыкания на землю .
Величины результирующих сопротивлений обратной и нулевой последовательностей определяются из соответствующих схем замещения системы (рис. 25, 26).
Рисунок 25. Схема замещения системы обратной последовательности
Сопротивление генератора обратной последовательности подсчитывается по формуле
,
где
– сверхпереходная реактивность генератора и может быть принята для генераторов всех типов равной .
.
После элементарных преобразований схемы (рис. 25) получаем
;
.
При определении результирующего сопротивления нулевой последовательности следует иметь в виду, что трансформатор блока имеет схему соединения обмоток . Поэтому генератор может быть исключен из схемы замещения нулевой последовательности, а сопротивление трансформатора можно принять равным его сопротивлению прямой последовательности.
Сопротивление нулевой последовательности линии электропередач в значительной степени отличается от сопротивления прямой последовательности и колеблется в весьма широких пределах от в зависимости от конструктивного исполнения передачи. Для данного курсового проекта приняли .
Рисунок 26. Схема замещения системы нулевой последовательности
Тогда результирующее сопротивление нулевой последовательности
;
,
а сопротивление шунта короткого замыкания для двухфазного короткого замыкания на землю подсчитывается по формуле
;
.
Проводимость шунта короткого замыкания:
;
.
Сопротивления связи , определяющие амплитуды угловых характеристик для каждого из режимов, определяются по схемам замещения системы (рис. 22, 23, 24):
Тогда амплитуды угловых характеристик, представленных на рис. 27, определяются по формулам:
;
;
;
;
;
.
Рис. 27. Определение предельного угла отключения аварии
Используя правило площадей (рис. 27), можно найти предельный угол отключения аварии , величина которого определяется из условия равенства площадки ускорения площадке торможения .
;
.
Величину критического угла можно найти из выражения:
;
.
Тогда
;
Зная предельный угол отключения аварии, можно определить максимально допустимое время отключения короткого замыкания. Для этого необходимо решить дифференциальное уравнение движения ротора:
.
Данное уравнение в силу своей нелинейности может быть решено только численными методами, наиболее предпочтительным из которых является метод последовательных интервалов.
Сущность этого метода заключается в следующем.
Весь процесс качания машины разбивается на ряд небольших и равных между собой интервалов времени. Обычно продолжительность интервала принимается равной с и для каждого из этих интервалов последовательно вычисляется приближенное значение приращения угла .
Возникающий в момент короткого замыкания избыток мощности сообщает ротору некоторое ускорение . Для достаточно малого интервала времени можно допустить, что избыток мощности в течение этого периода остается неизменным. Тогда по формулам равноускоренного движения нетрудно вычислить приращение скорости машины и угла в течение первого интервала:
;
.
;
Величина ускорения и, следовательно,
;
здесь угол выражен в градусах, а время – в секундах.
Обозначив
;
,
получим
;
.
Зная приращение угла в первом интервале, можно найти абсолютное значение угла в конце этого интервала времени:
;
.
Для нового значения угла можно определить величину избытка мощности в начале второго интервала времени по формуле
;
.
Тогда приращение угла на втором интервале
;
.
Для произвольного -го интервала приращение угла определяется выражением
.
Получаем, следующие значения (табл.5):
Таблица 5
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
25,451 |
26,681 |
30,344 |
36,359 |
44,597 |
54,901 |
67,1 |
|
|
0 |
0,05 |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
Применив совместно метод последовательных интервалов и способ площадей, можно найти максимально допустимое время отключения короткого замыкания. Для этого с помощью метода последовательных интервалов вычисляют время, в течение которого ротор достигает угла . Этот промежуток времени и соответствует предельному времени отключения короткого замыкания с (рис. 28).
Рисунок 28. Расчет предельного времени отключения аварии
Заключение
Таким образом, в ходе работы было проведено исследование статической и динамической устойчивости простейшей регулируемой системы, состоящей из генераторной станции, работающей на шины бесконечной мощности через две параллельные линии электропередачи. Анализируя устойчивость системы по алгебраическому критерию Гурвица и частотному критерию Михайлова, выяснили, что система с исходным параметром системы АРВ пропорционального действия – (см. табл.1) неустойчива. Используя D-разбиение, была найдена область допустимых значений . Кроме того, произведен расчет динамической устойчивости системы с определением предельного угла отключения аварии при двухполюсном коротком замыкании на землю одной из параллельных линий вблизи шин генераторной станции.
Литература
1. Столбов Ю.А., Пястолов В.В. Электромеханические переходные процессы: Учебное пособие по курсовому проектированию.– Челябинск: ЮУрГУ, 2005. – 47 с.;
2. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах.- Москва: ВШ, 1978. – 415 с.;
3. СТП.– Челябинск: ЮУрГУ, 2001.
