Возможности эквивалентной взаимозаменяемости конечной продукции и ресурсов в ограничениях модели определяются уравнением
(9)
Следует заметить, что количественные соотношения эквивалентной взаимозаменяемости, вытекающие из уравнения (9), справедливы только при таких значениях и , которые не изменяют значений оптимальных оценок.
Для того чтобы проанализировать влияние изменения ограничений на интенсивность применения различных производственных способов, осуществим упорядочение условий задачи.
Будем исходить из того, что для оптимального плана (п1 + m1) ограничений выполняются как равенства, а остальные (п – n1) + (т – m1) ограничений выполняются как строгие неравенства. Перенумеруем все исходные ограничения так, чтобы первые (п1 + m1) ограничений выполнялись как равенства, а остальные – как неравенства.
Выше мы пришли к выводу, что в оптимальном плане положительными будут переменные (п1 + m1 – 1) производственных способов и переменная . Изменим нумерацию переменных так, чтобы положительные переменные способов заняли первые места (вектор X1), a за ними – переменная .
Тогда матрица модели может быть представлена в виде следующей блочной матрицы:
Введем новое обозначение для вектора ограничений: b = . Перенумеруем компоненты этого вектора в соответствии с новой нумерацией ограничений: b = .
Для оптимального плана справедливо уравнение:
,
откуда
(10)
Обозначим первые (п1 + m1 – 1) строк матрицы через B11, а последнюю строку – через β11. Тогда
(11)
(12)
Формулы (11) и (12) характеризуют зависимости оптимальных интенсивностей производственных способов и максимального числа комплектов от «жестких» ограничений задачи. Коэффициенты матрицы B11 являются аналогами коэффициентов полных потребностей в продукции модели межотраслевого баланса. Однако эти коэффициенты могут иметь различные знаки, также как и коэффициенты вектора β11.
Из (11) и (12) выводятся формулы корректировки интенсивностей применяемых способов и числа комплектов конечной продукции при изменении ограничений:
(13)
(14)
Однако формулы (13) и (14) верны только при сохранении базиса оптимального плана задачи (набора векторов, соответствующих положительным переменным). Из линейного программирования известно, что базис оптимального плана не изменяется, пока переменные, вошедшие в оптимальный план, будут неотрицательны. Это означает, что в анализируемой модели условиями сохранения базиса оптимального плана являются
(15) или (16)
(17)
Из этих условий находятся границы допустимых изменений каждой компоненты вектора b и области допустимых изменений одновременно нескольких компонент вектора b. Сохранение базиса оптимального плана является также условием неизменности оптимальных оценок.
Включение в оптимальный план дополнительных производственных способов.
Как уже отмечалось, типичным свойством оптимального плана модели является использование (п1 + т1 – 1) производственных способов. Может оказаться, что большая часть имеющихся производственных способов (из общего числа N > n1 + т1 – 1) не будет использоваться и преобладающая часть продукции будет производиться небольшим числом способов. Такая ситуация является нежелательной с точки зрения маневренности, надежности, адаптивности плана. В связи с этим интересно изучить, к каким последствиям приводит включение в оптимальный план дополнительных способов.
Эффективность производственных способов ψ измеряется оценками производственных способов:
. (18)
Для способов, вошедших в оптимальный план, Δψ = 0. Для способов, не вошедших в оптимальный план, Δψ ≤ 0 (а в случае единственности оптимального плана Δψ строго отрицательны). Оценки Δψ показывают, насколько уменьшится значение целевой функции при включении в оптимальный план ранее не входившего в него способа с единичной интенсивностью. Если же интенсивность вводимого способа равна xψ, то значение целевой функции уменьшится на Δψxψ.
Рассмотрим, как повлияет включение дополнительных способов (вектора Х2) на интенсивности применения оптимальных (базисных) способов (вектор X1. Добавив к вектору b1 произведение – A12 Х2, получим на основе (11)
,
откуда
(19)
Заметим также, что формула изменения максимального числа комплектов конечной продукции при включении вектора Х2 имеет вид:
(20)
Формулы (19) и (20) справедливы при сохранении базиса оптимального плана, т. е. при условиях
С помощью оценок способов (18) можно изучать целесообразность включения в условия народнохозяйственной задачи новых способов. Новый способ φ будет эффективным (т. е. может войти в оптимальный план), если Δφ ≥ 0. Это условие может быть использовано для проектирования новых эффективных производственных способов.
Рассмотренные направления и методы анализа оптимального плана являются универсальными для всех линейных оптимизационных моделей. Однако в более частных моделях экономико-математический анализ может выявлять и специфические свойства оптимальных решений.
§2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Общая линейная оптимизационная модель построена на основе матрицы таких производственных способов, что каждый из них может выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции может выпускаться несколькими способами.
Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели, сохраняющие некоторые специфические допущения модели межотраслевого баланса: сначала – модели, в которых каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт выпускается только одним способом, а затем – модели, в которых сохраняется только первое из указанных допущений. Такая последовательность анализа моделей выбрана для того, чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных) при изменении предпосылок модели и включении в нее новых условий.
Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей
Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми представляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.
Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производственной сферы:
(21)
Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y0 = () и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов производства X = (xj). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:
(22)
Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается получение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что реальным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых .
Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :
(23)
Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следующими свойствами:
· он единственный;
· если Y0 > 0 (или Y0 ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;
· балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся;
· оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции tJ ≥ 0.
На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вершиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y0 ≥ 0. При этом решение прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы уравнений и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продукции равны коэффициентам полных трудовых затрат.
Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях tj и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.
