Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число возможных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Δyi в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравенства строго в равенства.
Введем дополнительные обозначения: X* – оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* – матрица коэффициентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.
Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «лучших» способов. Матрицы A* и (Е – А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого баланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е – А*)–1 ≥ 0. Элементы матрицы (Е – А*)–1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
(E – A) X* = Y0 или X* = (E – A)–1Y0.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y0.
Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y0, достаточно – в соответствии с (15),– чтобы выполнялось условие
(E – A*)–1Y0 ≥ 0.
Поскольку матрица (E – A*)–1 ≥ 0, условие (E – A*)–1Y0 ≥ 0 выполняется всегда при любом Y0 ≥ 0 и тем более при Y0 > 0.
Пусть для некоторого Y0 > 0 получено решение X*. Базис полученного решения (Е – А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y0 будет изменяться любым образом в положительной области (0 < Y0 < +∞). Если базис оптимального плана – неразложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y0 ≥ 0.
Это означает, что вычислив матрицу (E – A*)–1 для одного варианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.
Из задачи, двойственной к (32), следует, что для способов, вошедших в оптимальный план , выполняются условия
Поэтому вектор оптимальных оценок продукции V* = (), характеризующих минимально необходимый прирост трудовых затрат в народном хозяйстве при увеличении конечной продукции, определяется решением системы уравнений
V* = V* A* + t* или V* = t* (A – V*)–1.
Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам для каждого вида продукции.
Следствие. Оптимальные оценки не изменяются при любых изменениях положительного вектора Y0.
При неизменных коэффициентах производственных способов оптимальные оценки меняются только при изменении базиса оптимального плана. Теорема 2 доказывает, что в модели (32) базис оптимального плана остается постоянным при любых изменениях вектора Y0 в положительной области, следовательно, не изменяются и оптимальные оценки[1].
Постоянство оценок облегчает их использование в различных планово-экономических расчетах, в частности, при корректировке вектора Y0.
Рассмотрим другую возможную постановку межотраслевой модели с производственными способами: произвести максимальное число комплектов конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах:
(33)
Нетрудно установить, что модели (32) и (33) являются взаимным. В первой модели фиксируются и минимизируются затраты труда, а во второй модели максимизируются z при фиксированном ресурсе труда.
Отсюда следует, что если z0 = max z или , то в
соответствии с теоремой взаимности оптимальные планы задач совпадают, трудовые ресурсы используются полностью, а оптимальные оценки продукции пропорциональны. Сохраняются и все свойства оптимального плана и оптимальных оценок модели (32):
· в оптимальном плане производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом (для этого должно выполняться одно из условий: либо матрица способов неразложима, либо все );
· выбор лучших способов и оптимальные оценки не зависят от заданий по конечной продукции (ассортиментных коэффициентов);
· не производится «излишков» конечной продукции.
Отметим важное новое свойство: набор производственных способов в оптимальном плане и значения оптимальных оценок не зависят от величины имеющегося ресурса. Действительно, поскольку L есть единственная отличная от нуля компонента вектора ограничений задачи, то изменение L означает растяжение или сжатие вектора ограничений. Но такое преобразование не влияет на базис оптимального плана.
Вектор объемов производства выражается через матрицы коэффициентов полных затрат, сформированных из «лучших» способов:
Х = (Е – A*)–1αz = β*z, (34)
где β* = (Е – А*)–1α – вектор потребностей в выпуске продукции для получения одного комплекта конечной продукции.
Максимальное число комплектов z* находится из равенства t*(E – A*)–1αz = τ*z = L, откуда
(35)
где τ* = t* (Е – А*)–1α – полные трудовые затраты для получения одного комплекта конечной продукции.
Подстановка (35) в (34) дает
(36)
т. е. максимальное число комплектов и объемы производства прямо пропорциональны количеству имеющихся трудовых ресурсов. Оптимальная оценка трудовых ресурсов является постоянной величиной.
В рассматриваемой модели условия максимизации конечной продукции могут быть сформулированы так же, как в моделях (1), (24), (27). С учетом данного уточнения приходим к модели:
(37)
Отмеченные выше свойства оптимального плана и оптимальных оценок полностью сохраняются. Однако решение задачи (37) существует не всегда, так как наличных трудовых ресурсов может быть недостаточно для выполнения чрезмерно высоких заданий qi.
Варианты модели с различными условиями максимизации конечной продукции.
Из теоремы 2 следует, что изменение объемов и структуры конечной продукции (при сохранении Y ≥ 0) не оказывает никакого влияния на выбор лучших производственных способов. Это позволяет расчленить процесс оптимизационных расчетов и анализа оптимальных решений на три стадии:
· нахождение лучших производственных способов и минимальных затрат труда при заданном векторе конечной продукции на основе модели (32);
· определение объемов и структуры переменной части конечной продукции (можно использовать различные критерии и условия максимизации);
· расчет сбалансированного плана производства, обеспечивающего выпуск всей конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах.
В качестве примера рассмотрим модель, включающую условия максимизации переменной части конечной продукции в виде ЦФП:
Решив задачу (32) с Y0 = Q, определим матрицу А*, а также вектор оптимальных оценок продукции, равных коэффициентам полных затрат, исчисленным по лучшим производственным способам, V* = Т*, а также потребности в трудовых ресурсах для обеспечения постоянной части конечной продукции T*Q и остаток трудовых ресурсов для выпуска переменной части конечной продукции .
На второй стадии решается задача максимизации ЦФП при ограниченных трудовых ресурсах:
(38)
Решение задачи (38) дает вектор .
Следует обратить внимание на интересный результат, характеризующий соотношения предельных полезных эффектов продукции и затрат труда на ее производство. В соответствии с условиями Куна – Таккера
(39)
Таким образом, в оптимальном плане рассматриваемой модели предельные полезные эффекты используемой конечной продукции пропорциональны общественно необходимым затратам труда на производство продукции. Оптимальные оценки продукции в модели (32) равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам, и являются постоянными величинами. Они оказывают влияние на выбор оптимальной структуры конечной продукции (вектора ); эта структура «подбирается» так, чтобы отношения (39) выровнялись по всем используемым видам конечной продукции. Но выбор структуры конечной продукции не оказывает никакого влияния на значения оптимальных оценок продукции.
