У продавца есть одна не делимая единица товара для продажи, которую он
оценивает за 0. Товаром может быть потребительский товар длительного
использования, предпринимательская собственность, или право на эксплуатацию
природных ресурсов. Пусть в торгах за этот товар принимают участие N?2
которые обладают нейтральным риском. Типичный покупатель оценивает этот
товар v и он терпит убытки, оценивающиеся C(x, w), если он платит х, а w
представляет его бюджет. Таким образом, если участник торгов получает
объект и платит х, он обладает полезностью v-C(x, w). Для каждого участника
торгов v и w – это частная информация. (w, v) составляют независимые и
тождественно распределённые пары для участников торгов с платностью f (•,
•), что является положительным, и обладающими свойствами отличительными
особенностями на интервале [[pic],[pic]][pic][[pic],[pic]] где
([pic],[pic])? (0, 0). (Заметим, что w и v могут быть коррелированными для
индивидуальных участников торгов) функция стоимости расходов C: [0, ?)
[pic] [[pic],[pic]] > [0, ?] удовлетворяет следующим предположениям:
Предположение 1: Строго выполняется и (слабо) выпукла в х для х
? ? (w), ?(w) ? sup C(x, w) < ? .
Предположение 2: Для любого х и любого w х < ?(w), lim[pic]C(x,w')=C(x,w).
Предположение 3: для любого w, w’> w и х ? ? (w), [pic] для некоторого
[pic] где С[pic](х[pic],w) и С[pic](х[pic],w) обозначают соответственно
право - и лево – стороннее производные относительно первого аргумента
оценённого в (х,w).
Предположение 4: C(x, [pic]) = x для x[pic], и C(x, w} = x для x[pic]
[pic].
Предположение 1 означает, что крайняя стоимость расхода положительна и возрастает, т.к. каждый тратит больше. Предположение 2 означает, что покупатели с идентичными бюджетами сталкиваются с одинаковыми функциями стоимости. Первое неравенство в предположении 3 подразумевает, что более высокое w снижает цену для покупателя, чтобы увеличить его покупательную способность в заданном v. Если C( •, w) дифференцируема условием и сводится к отрицательному значению частной производной. Второе неравенство в третьем предположении подразумевает непрерывность Липшица. Мы видели, что покупатель с w «действует добровольно тратя х» если C(x, w) = x. Тогда предположение 4 подразумевает, что покупатель с наибольшими финансовыми возможностями действует добровольно, когда тратит до [pic] и нет таких покупателей, которые вынуждены были бы тратить чем самая низкая возможная оценка.[14] Эти предположения охватывают существенные особенности финансовых ограничений. Они выполняются, на пример, когда функция стоимости принимает форму:
[pic] где R(0)=0, R(y) является не возрастающей , (слабо) выпуклой и непрерывна по Липшицу для у > 0 и[pic]. С этой функцией стоимости покупатель не сталкивается с затратами по финансированию, когда расход меньше чем его бюджет, но он должен платить проценты стоимостью R(y), когда занимает у. В частности если R(y)?ry, тогда покупатель сталкивается с необходимостью постоянных займов под проценты = r. И если R(y)=? при у>0, тогда бюджет составляет абсолютный предел расходов.
Наша главная цель сравнить работу первичных и вторичных аукционов. Однако методика оценки дохода и социально активного сальдо применима к более широкому классу форм аукционов. Более подробно рассмотрим семейство F аукциона со следующими свойствами:
P1. Лицо, предлагающее самую высокую цену, получает товар[15], и правила аукциона применяются идентично ко всем претендентам.
P2. существует симметрическая чистая стратегия равновесия Bayes-Nash, в
которой активный претендент с (w, v) делает предложение b=B(w, v) где B(
•, • ) непрерывно.
P3. Предложение равновесия B(w, v) увеличивается в (w, v) для активного типа (w, v) и активно возрастает, если w и v увеличиваются.
P4. Для любого предложения равновесия существует добровольный тип с бюджетом w, который делает то же самое предложение.
Эти свойства сравнения между формами аукциона. PI исключает случайное
распределение (кроме связей) и асимметричную обработку претендентов. P2
гарантирует, что равновесие для данного правила аукциона может быть
охарактеризовано семейством непрерывных кривых изобид в (w, u)
пространстве. Как будет показано, наш анализ социально активного сальдо
включает сравнение форм кривых изобид в зависимость от различных форм
аукциона. P3 подразумевает, что кривые изобиды имеют отрицательный наклон и
не имеют никакого внутреннего строения. Наконец, P4 гарантирует, что
имеется добровольный тип на каждой кривой изобиде. Это последнее свойство
позволяет нам сосредотачиваться на таких типах при вычислении ожидаемого
дохода. Эти свойства подобны тем, которые рассматривали Rilcy и (1981)
Samuelson, но, учитывая нашу двумерную частную информационную и общую
функцию стоимости, P2-P4 очевидно не удовлетворительны. Тем не менее,
первичные и вторичные ценовые аукционы рассматриваются, чтобы
удовлетворить P1-P4 в абсолютном случае бюджета (Раздел 3). В общем
окружении с Предположениями 1-4, P2 все еще должно быть проверено для
каждой формы аукциона, но другие свойства удовлетворены в общих чертах.[16]
A. Сравнение социального активного сальдо.
Мы сначала развиваем методику для сравнения социального активного сальдо двух форм аукциона, которые удовлетворяют вышеупомянутым свойствам, т.е. мы сосредотачиваемся на оценке побеждающего претендента как на мера социального активного сальдо. Оценка победителя - правильная мера, если нет покупателей которые несут финансовые затраты (как в Разделе 3),[17] или если их затраты являются чистыми передачами кредиторам. Даже, когда финансовые затраты включают некоторые напрасные траты, выбор покупателя, который оценивает объект выше всех (или поставщик, который является наиболее квалифицированным для работы) остается важным делом на правительственных аукционах, например.
Пусть М. – произвольное правило аукциона и в F устанавливает равновесие.
Правило аукциона может включать резервную цену, которая ограничивает набор
активных претендентов. Пусть B[pic] (•, •) обозначение функции предложения
равновесия активного претендента, и пусть [pic] - самая низкая возможная
оценка для активного претендента. (P3 и P4, (w,[pic]]-типа покупатель
представил бы минимум предложений равновесия.) Для активного типа (w, v),
пусть [pic]обозначают набор типов, которые либо не участвуют, либо
предлагают меньше. Этот набор соответствует области расположенной на и ниже
кривой изобиды типа - (w, v), на аукционе М. Также пусть [pic] и [pic].
Рассмотрим любые два аукциона, А и B, в F , и установим их связанное
равновесие.
Определение. Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по отношению к аукциону В, если, для любого типа (w, v) который активен на обоих аукционах:
[pic] и [pic]
Единственное общее свойство выполняется точно если, в дополнение к этому, одно из включений набора точно для положительной меры (w, v ).
Единственное общее свойство подразумевает, что кривые изобиды на аукционе
А ограничивают отрезок кривой изобиды на аукционе В снизу всего лишь
однажды (см. Фигуру 1). Следующая теорема показывает нам, что оценка товара
победителем немного выше на аукционе А чем на аукционе В, когда это
свойство сохраняется. Грубо говоря, единственное общее свойство означает,
что кривая из обиды в А более плоская, чем в В на отрезке (w, v).
Следовательно, функции предложения равновесия, более вероятны, чтобы
отразить заказ оценок покупателей в А чем в B. Ниже теорема доказана лишь
формально, но интуиция для проверки может быть ясно иллюстрирована Фигурой
1. Предположим, что покупатель типа - (w, v) побеждает на аукционе B. Любой
проигрывающий претендент с более низкой оценкой должен тогда принадлежать
заштрихованной области. Исходя из единственного общего свойства, эта
область находящаяся ниже кривой изобиды проходящей отрезок (w, v) на
аукционе A. Поэтому, любой проигравший претендент с более низкой оценкой на
аукционе B должен также проиграть на аукционе A, что подразумевает, что
оценка победителя может только повышаться, т.к. мы перемещаемся от аукциона
B на аукцион A.
Теорема 1. Если [pic] и Аукцион А удовлетворяет единственному общему свойству по отношению к аукциону В, то А принесёт более высокое социальное активное сальдо чем B (с вероятностью один). Аукцион А точно принесёт более высокое социальное активное сальдо нежели B, если единственное общее свойство строго выполняется.
Фигура 1.
Доказательство. Предположим, что претендент типа (w, v) - победитель на
аукционе B. Этот претендент должен также быть активен и на аукционе A, т.к.
[pic] что создаётся единственным общим свойством. Тогда этого будет
достаточно, чтобы показать, что, с вероятностью 1, тип (w, v) не может
проиграть претенденту с[pic] на аукционе A, что тогда подразумевает, что
победитель в А имеет более высокую оценку чем победитель в В.[18]
Рассмотрим проигрывающего претендента в В с (w ', y '), v ' < v. По
определению[pic]. Если он принимает участие, [pic] с вероятностью в
единицу, так как кривая изобиды не имеет никакого интерьера, P3. Если
w' < w, то [pic] из-за строгой монотонности в P3. Та же самая оценка
выполняется с вероятностью равной единице, если [pic], т.к. [pic]из-за
единственного общего свойства. Таким образом, с вероятностью равной
единице, претендент типа - (w', v') не выигрывает.
Обратное может не выполнятся. То есть победитель на аукционе A, (скажем
(w', v') в Фигуре 1) может проиграть на аукционе В претенденту с более
низкой оценкой (скажем (w, v) Фигуре 1). Это происходит с
положительной вероятностью, если единственное общее свойство строго
выполняется, что доказывает второе утверждение.|
Сравнение Дохода
Ожидаемый доход от аукционов может также однозначно оцениваться во многих
случаях. Выберем произвольный аукцион М в F, и установим равновесие. Мы
сосредотачиваемся на активных претендентах с ([pic], v), для любого [pic].
Определим вероятность того, что произвольно выбранный претендент либо не
участвует, либо предлагает ниже, чем претендент типа - ([pic], v):
[pic], где [pic] по Р2 и Р3, [pic] непрерывно и строго возрастает с [pic]
Так как это единственное предложение, которое определяет ожидаемую
оплату, все типы на данной кривой изобида, создают ту же самую ожидаемую
оплату. Кроме того, для любого предложения, там существует тип с бюджетом
[pic], который делает то же самое предложение из-за P4. Поэтому, мы можем
выражать ожидаемый доход продавца, в прелах платежей от типов с бюджетом
[pic]. Определенно, мы вычисляем ожидаемый доход, объединяя платежи этих
типов по связанным кривым изобидам. Пусть [pic], будет ожидаемая оплата
которую претендент типа - (w, v) делает в равновесии, и пусть[pic]. Тогда,
ожидаемый доход от аукциона М будет:
