Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = yn и y` = yn+1 вводится промежуточное значение y = yn+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = tn+½ = tn+½ . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .
yn+½ - yn = L1yn+½ + L2yn + jn (3)
0.5t
yn+1 - yn+½ = L1yn+½ + L2yn+1 + jn (4)
0.5t
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки vh и для всех t=th > 0.
Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:
y(x,0) = U0(x) , xÎvh (5)
и разностно краевые условия, например, в виде:
yn+1 = mn+1 при i1=0, i2=N2 (6)
yn+½ = m при i1=0, i2=N1 (7)
где m = 1 (mn+1 + mn) - t L2(mn+1 - mn) (8)
2 4
Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:
2 y - L1 y = F , F = 2 y + L2 y + j
t t (9)
2y` - L2 y` = F’ , F = 2 y + L1 y + j
t t
Введём обозначения:
xi = (i1h1 , i2h2)
F = Fi1,i2
y = yi1,i2
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:
1 yi1-1 - 2 1 + 1 yi1 + 1 yi1+1 = - Fi1
h21 h21 t h21
i1 = 1,...,N1-1 (10)
y =m при i1 = 0,N1
1 y`i2-1 - 2 1 + 1 y`i2 + 1 y`i2+1 = - Fi2
h22 h22 t h22
i2 = 1,...,N2-1 (11)
y` = m` при i2 = 0,N2
Пусть задано у=уn. Тогда вычисляем òF, затем методом прогонки вдоль строк i2=1,...,N2-1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i1=1,...,N1-1, определяя y`=yn+1. При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.
Построение разностных схем
Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.
Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:
L M N
y
K0
K1
x
I : jk0,y = Un
t . jk+½i-1,y + 1 + t + t . jk+½ij - t . jk+½i+1y = Yij
2h*ihi 2h*ihi+1 2h*i2hi 2h*ihi+1
jk1,y = Un
где Yij = jkij + t (Lyjkij + f kij )
2
Ly = 1 jkij+1 - jkij - jkij - jkij-1
r*j rj+1 rj
II: jij=U3
t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ ij - t jk+½i+1,j =
2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1
= jkij + t Lyjkij
2 , 0 < i < k0-1 L< j <M
eok . jk+½ i-1,j + - enn - eok . jk+½ ij + en . jk+½ i+1,j = Y*ij , i=k0
h*i-1 h*hi h*hi-1 h*ihi
t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ ij - t . jk+½i+1,j =
2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi+1
= jkij + t Lyjkij - f kij ,k0+1< i < k1
2
jk1,j = Un
...
III : jk0,j =Uc
t . jk+½i-1,j + 1 + t + t . jk+½ ij - t jk+½i+1,j =
2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1
= jkij + t Ly (jkij - f kij ), M+1 < j < N
2
jk1,j = Un
Разностные схемы (I)-(III) решаются методом прогонки в направлении оси OX.
y
K0
K1
x
()
Разностные схемы (IV)-(VI) также решаются методом прогонки в направлении оси OY.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С.К.,Рыбинский В.С.: ”Разностные схемы”
2. Кобболд Р.: “Теория и приминение транзисторов”
3. Самарский А.М.: “Теория разностных схем”
4. Самарский А.М.,Николаев Е.С.: “Методы решения сеточных уравнений”
5. Самарский А.А.,Андреев В.Б.: “Разностные методы решения эллиптических уравнений”
6. Калиткин Н.Н.: ”Численные методы”
