Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

Численное решение уравнения Шредингера средствами Java











Численное решение уравнения Шредингера средствами Java


Содержание


Введение

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

1.2 Волновые функции в импульсном представлении

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

2.2 Преобразование Фурье

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе

Заключение

Список использованных источников


Введение


Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.


1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений


1.1 Волновое уравнение Шредингера


Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде


(1.1)


где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора  определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы  в потенциальном поле U(r) оператор  действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы


(1.2)


Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов


H,(1.3)


то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S


H


можно получить из (1.3) формальным преобразованием


,


Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования


, (1.4)


если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию  операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при  волновой функцией


,


описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство


,(1.5)


указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию  и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим


,(1.6)


Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора , получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)


, (1.7)


где  является плотностью вероятности, а вектор


(1.8)


можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию  всегда можно представить в виде



где  и — действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности


,


а плотность тока вероятности


.(1.9)


Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций , у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций .

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции  состояние системы можно описать двумя вещественными функциями  и , удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию  и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений


, ,


при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид


, . [1]


1.2 Волновые функции в импульсном представлении.


Фурье-образ  волновой функции  характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии . Требуется вывести интегральное уравнение для  с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями  и  имеются два взаимно обратных соотношения.


(2.1)

(2.2)

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения  и применить к нему операцию , то с учетом определения 3-мерной -функции,


,


в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

Положим далее


,(2.3)


тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь


(2.4)


Предполагая, что волновая функция  удовлетворяет уравнению Шредингера


(2.5)


Подставляя сюда вместо  и  соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем


В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной  к интегрированию по переменной , а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством . Интеграл по  обращается в нуль при любом значении  лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда


.(2.6)


Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала  в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал  должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как , где .

Необходимо отметить, что из условия нормировки


 (2.7)


следует равенство


.(2.8)


Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции :


.


Если здесь сначала выполнить интегрирование по , то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера


2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера


В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид


(3.1)


где оператор полной энергии системы. Для одномерного случая



Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде


(3.2)


где - волновая функция системы в момент времени

- оператор эволюции (пропагатор).

Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора  . Так, в случае дискретного спектра  выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид


(3.3)


Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.

Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции . Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему

Страницы: 1, 2, 3, 4



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать