(3.7)
Из уравнения (3.1) имеем
(3.8)
Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем
(3.9)
Разрешив (3.9) относительно или , найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по c локальной погрешностью . Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния - ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии - модуль минимального значения потенциала . В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид
(3.10)
где
(3.11)
Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:
1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал .
2. Задать значение .
3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).
4. Задать , .
5. Задать начальное значение энергии .
6. Задать конечное значение энергии .
7. Задать шаг изменения энергии .
8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .
9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .
10. Вычислить значения переменной для значения энергии .
11. Увеличить текущее значение энергии на : .
12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .
13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .
14. Вычислить значения переменной для значения энергии .
15. Сравнить знаки ,
16. Если и , увеличить текущее значение энергии на и повторить действия, описанные в пп. 8-17.
17. Если , уточнить методом линейной интерполяции.
18. Если , повторить действия, описанные в пп. 8-18.
19. Если , закончить вычисления.[5]
4. Программная реализация численных методов средствами Java
4.1 Обзор языка программирования Java
Java связан с C++, который является прямым потомком С. Многое в характере Java унаследовано от этих двух языков. От С Java получил его синтаксис. На многие из объектно-ориентированных свойств Java повлиял C++. Некоторые из определяющих характеристик Java происходят от его предшественников. Кроме того, создание Java глубоко внедрилось в процессы усовершенствования и адаптации, которые проявились в языках машинного программирования в течение последних трех десятилетий. Каждое новшество в проекте языка управлялось потребностью решить фундаментальную проблему, с которой не справились предшествующие языки. Java не является исключением.
Internet помог катапультировать Java на передний край программирования, a Java, в свою очередь, имел глубокое влияние на Internet. Этому есть простое объяснение: Java разворачивает вселенную объектов, которые могут свободно перемещаться в киберпространстве. В сети две очень широких категории объектов передаются между сервером и вашим персональным компьютером — пассивная информация и динамические, активные программы. Например, когда вы читаете вашу электронную почту, то рассматриваете пассивные данные. Даже, когда вы загружаете программу, ее код — это все еще только пассивные данные до тех пор, пока вы их не начнете выполнять. Однако на ваш компьютер может быть передан объект второго типа — динамическая, самовыполняющаяся программа. Такая программа — активный агент на компьютере клиента, все же инициализируется сервером. Например, сервер мог бы предоставить (клиенту) программу, чтобы должным образом отображать данные, посылаемые клиенту.
Столь же желательными, как и динамические, являются сетевые программы. Они также порождают серьезные проблемы в области защиты и мобильности. До. Java, киберпространство было эффективно закрыто для половины объектов, которые теперь живут там. Кроме того, Java имеет дело с захватывающе новой формой программ — апплетами.
Java можно использовать, чтобы создать два типа программ — приложения и апплеты. Приложение — это программа, которая выполняется на вашем компьютере с помощью его операционной системы. То есть, приложение, созданное с помощью Java, более или менее подобно приложению, созданному с использованием С или C++. При создании приложения Java не намного отличается от любого другого машинного языка. Более важной является способность Java создавать апплеты. Апплет — это приложение, разработанное для передачи по Internet и выполняемое совместимым с Java Web-браузером. Апплет — это, фактически, крошечная программа Java, динамически загружаемая через сеть, подобная изображению, звуковому файлу, или видеоклипу. Важное отличие заключается в том, что апплет является интеллектуальной программой, а не просто мультипликацией (анимацией) или media-файлом. Другими словами, апплет — это программа, которая может реагировать на ввод пользователя и динамически изменять, а не просто выполнять ту же самую мультипликацию или звук много раз.
Многоплатформная среда Web предъявляет экстраординарные требования к программе, потому что та должна выполниться надежно в самых разнообразных системах. Поэтому способности создавать устойчивые программы был дан высокий приоритет в проекте Java. Чтобы обеспечить надежность, Java ограничивает вас в нескольких ключевых областях, вынуждая рано находить ошибки при разработке программы. В то же самое время, Java освобождает от необходимости волноваться относительно многих из наиболее общих причин ошибок программирования. Поскольку Java — язык со строгой типизацией, он проверяет ваш код во время компиляции. Однако он также проверяет ваш код и во время выполнения. В действительности, множество трудно прослеживаемых ошибок, которые часто обнаруживаются в трудно воспроизводимых ситуациях во временя выполнения, просто невозможно создать в Java. Знание того, что программа, которую вы написали, будет вести себя предсказуемым образом при разных условиях, является ключевым свойством Java.
Чтобы лучше понимать, насколько устойчив Java, рассмотрим две из главных причин отказа программы: ошибки управления памятью и неуправляемые исключительные состояния (т. е. ошибки во время выполнения). Управление памятью может быть трудной и утомительной задачей в традиционных средах программирования. Например, на C/C++ программист должен вручную распределять и освобождать всю динамическую память. Это иногда ведет к проблемам, потому что программисты или забывают освобождать память, которая была предварительно распределена, или, хуже, пытаются освободить некоторую память, которую другая часть их кода все еще использует. Java фактически устраняет эти проблемы, управляя распределением и освобождением памяти. (Фактически, освобождение полностью автоматическое, потому что Java обеспечивает сборку "мусора" для неиспользованных объектов.) Исключительные состояния в традиционных средах часто возникают в ситуациях типа деления на нуль или "файл, не найден", и они должны управляться неуклюжими и трудно читаемыми конструкциями. Java помогает и в этой области, обеспечивая объектно-ориентированную обработку особых ситуаций. В хорошо написанной Java-программе все ошибки времени выполнения могут — и должны — управляться вашей программой.
Java был спроектирован так, чтобы выполнить реальное требование — создавать интерактивные сетевые программы. Чтобы выполнить это, Java поддерживает многопоточное программирование, которое позволяет вам писать программы, выполняющие одновременно несколько операций. Исполняющая система Java подходит с изящным и все же искушенным решением к синхронизации мультипроцесса, что дает возможность создавать гладко работающие интерактивные системы. Удобный в работе подход Java к многопоточности позволяет вам поразмыслить над спецификой поведения вашей программы, а не заботиться о многозадачной подсистеме.
Программы Java несут в себе существенное количество информации времени выполнения, которая используется, чтобы проверять и разрешать доступ к объектам в период работы программы. Это дает возможность динамически связывать код в безопасной и целесообразной манере, и имеет решающее значение для устойчивости среды апплета, в которой маленькие фрагменты байт-кода могут динамически обновляться исполнительной системой.
Все компьютерные программы состоят из двух элементов: кода и данных. Любая программа может быть концептуально организована либо вокруг ее кода, либо вокруг ее данных. Иначе говоря, некоторые программы концентрируют свою запись вокруг того, "что делается с данными"1, а другие — вокруг того, "на что этот процесс влияет"2. Существуют две парадигмы (основополагающих подхода), которые управляют конструированием программ. Первый подход называет программу моделью, которая ориентирована на процесс (process-oriented model). При этом подходе программу определяют последовательности операторов ее кода. Модель, ориентированную на процесс, можно представлять как кодовое воздействие на данные (code acting on data). Процедурные языки, такие как С, успешно эксплуатируют такую модель. Однако, при этом подходе возникают проблемы, когда возрастает размер и сложность программ. Второй подход, названный объектно-ориентированным программированием, был задуман для управления возрастающей сложностью программ. Объектно-ориентированное программирование организует программу вокруг своих данных (т. е. вокруг объектов) и набора хорошо определенных интерфейсов (взаимодействий) с этими данными. Объектно-ориентированную программу можно характеризовать как управляемый данными доступ к коду (data controlling access to code). Как вы увидите далее, переключая управление на данные, можно получить некоторые организационные преимущества. Опыт показывает, что отсутствие стандартных базовых библиотек для языка С++ чрезвычайно затрудняет работу с ним. В силу того, что любое нетривиальное приложение требует наличия некоторого набора базовых классов, разработчикам приходится пользоваться различными несовместимыми между собой библиотеками или писать свой собственный вариант такого набора. Все это затрудняет как разработку, так и дальнейшую поддержку приложений, затрудняет стыковку приложений, написанных разными людьми. Полная система Java включает в себя готовый набор библиотек, который можно разбить на следующие пакеты:
· java.lang -- базовый набор типов, отраженных в самом языке. Этот пакет обязательно входит в состав любого приложения. Содержит описания классов Object и Class, а также поддержку многопотоковости, исключительных ситуаций, оболочку для базовых типов, а также некоторые фундаментальные классы.
