a41 + a42 + a43 = 1- 2(a21a22+a22a23+a21a23) (7)
так как (a21 + a22 + a23)2 = 1. Далее, член шестого порядка приводится к виду
a61 + a62 + a63 = 1- 3(a21a22+a22a23+a21a23)+3a21a22a23 (8)
так как (a21 + a22 + a23)3 = 1.
Энергия анизотропии на единицу объема кубического кристалла с точностью до членов шестого порядка относительно ai представляется в виде линейной комбинации
fa=K1(a21a22+a22a23+a21a23)+K2a21a22a23 (9)
Часто членом K2a21a22a23, который обычно меньше первого члена в (9), пренебрегают. Тогда:
fa=K1(a21a22+a22a23+a21a23) (10)
Знаки констант анизотропии K1 и K2 и их относительная величина определяют то кристаллографическое направление, которое в данном кристалле будет «легким».
Если К1>0, то первый член
в (9) минимален при направлении намагниченности вдоль осей [100], [010], [001], которые в этом
случае являются осями легкого намагничивания.
Если К1<0,
то осями легкого намагничивания являются оси[111], [I11], [1I1], [11I], так
как первый член в энергии анизотропии (9) минимален, когда намагниченность
расположена вдоль этих осей.
Если учитывать и второй член в (9), то направление диагональной оси [100] в тех случаях, когда К1 отрицательна и меньше по абсолютной величине, чем К2, также может быть направлением легкого намагничивания.
В заключение отметим, что в ряде случаев удобнее fa раскладывать в ряд по сферическим функциям Ym l (J ,j) где J - полярный угол, j -азимут вектора намагниченности по отношению к выбранной оси симметрии. Тогда
fa=SScmlUml(J,j) , (11)
где cml - параметры, аналогичные константам анизотропии . Разложение (11) справедливо для кристаллов любой симметрии (тип симметрии определяют величины cml, т. е. какие из этих коэффициентов обращаются в нуль).
2) fупр.(ei j ) = ½ [C11(e2xx+ e2yy+ e2zz)] +½ [C44(e2xy+ e2yz+ e2xz)]+
+ C12(exxeyy+ eyyezz+ exxezz ) (12)
3) fму.(ai ,ei j ) = B1[(a21 – 1/3)exx+(a22 – 1/3)eyy+(a23 – 1/3)ezz]+
B2[a1a2exy+a2a3 eyz+a1a3exz] , (13)
где, ai – направляющие косинусы вектора спонтанной намагниченности, ei j- компоненты тензора деформации кристалла, В1 , В2 – константы магнитоупругой энергии, С11 , С44 , С14 – модули упругости.
Устойчивому равновесному состоянию деформированного кристалла с определенным направлением намагниченности (ai = const) соответствует минимум свободной энергии. Чтобы определить компоненты тензора деформации при отсутствии внешних напряжений, характеризующие спонтанную магнитострикционную деформацию или спонтанную магнитострикцию, следует найти компоненты e(0)i j , соответствующие минимуму f.
Минимизируя выражения для плотности энергии f относительно e i j, получим
∂f/∂exx= B1(a21 – 1/3)+C11e(0)xx + C12(e(0)yy+e(0)zz)=0 ,
∂f/∂eyy= B1(a22 – 1/3)+C11e(0)yy + C12(e(0)zz+e(0)xx)=0 , (14)
∂f/∂ezz= B1(a23 – 1/3)+C11e(0)zz+ C12(e(0)xx+e(0)yy)=0 ,
∂f/∂ezy= B2a1a2+ C44e(0)xy=0,
∂f/∂eyz= B2a2a3+ C44e(0)yz=0, (15)
∂f/∂exz= B2a1a3+ C44e(0)xz=0,
Складывая три уравнения (14), найдем: (∆V/V)0= e(0)xx+ e(0)yy+ e(0)zz ,
т.е. в этом приближении изменение объема кристалла (∆V/V)0 при спонтанной магнитострикционной деформации равно нулю. Из (14) и (15) получим компоненты тензора этой деформации
e(0)i i = -[B1/(C11-C12)] [a2i – 1/3], e(0)i j = -(B2/C44)aiaj ; i , j = x, y, z.
(16)
Зная e(0)i j легко найти удлинение кристалла δl/l при спонтанной магнитострикционной деформации в любом направлении, определяемом направляющими косинусами β1, β2, β3:
(δl/l)0 = e(0)xx β21+ e(0)yy β22+ e(0)zz β23+ e(0)xy β1 β2+ e(0)yz β2 β3+ e(0)zx β3β1=
= - [B1/(C11-C12)] [a21 β21+a22 β22+a23 β23- 1/3] –
– (B2/C44)( a1a2 β1 β2+a2a3 β2 β3+a3a1 β3 β1) (17)
Найдем δl/l для кристаллографических направлений [100] и [III]. Если кристалл намагничен вдоль направления [100], то, полагая в (17)
a1 = β1 = 1, a2 = a3 = β2 = β3 = 0, получим
(δl/l)[100] =λ100 = - 2/3 [B1/(C11-C12)]. (18)
Аналогично для направления [111] будем иметь
(δl/l)[111] =λ111 = - 1/3 (B2/C44) , (19)
где λ100 и λ111 носят название констант магнитострикции. Подставляя
в (18,19),Выражения для констант магнитоупругой энергии:
B1=N(∂g1/∂r)r0 , B2= 2Ng1, (20)
где - N число атомов в единице объема. Можно
выразить магнитострикционные
константы λ100 и λ111 для различных типов кубических решеток через
коэффициенты g1 в выражении для энергии пары атомов:
1- простая кубическая:
λ100 = -2/3[N/(C11 – C12)][∂g1/∂r]r0 ;
λ111 = - 4/3(N/C44)g1
2- объемно- центрированная:
λ100 = -16/9[N/(C11 – C12)]g1 ; (21)
λ111 = - 16/27[g1+(∂g1/∂r)r0]
3 – гранецентрированная:
λ100 = -1/3[N/(C11 – C12)][6g1 – (∂g1/∂r)r0] ;
λ111 = - 2/3[N/C44] [2g1+(∂g1/∂r) r0]
Принимая во внимание (16), магнитоупругую (13) и упругую (12) энергии при спонтанной деформации можно записать в виде:
f(0)му.= [B21/(C11 – C12)] ∑ (a2i-1/3)2 - B22/C44 ∑ a2ia2j , (i , j=1,2,3)
f(0)упр.= ½ C11 [B21/(C11 – C12)2] ∑ (a2i-1/3)2 + ½ C44 B22∑ a2ia2j+
+C12[B21/(C11 – C12)2] ∑ (a2i-1/3)(a2j-1/3), (i , j=1,2,3)
или, учитывая соотношения
1) ∑a2 i =1 (i =1,2,3) ;
2) ∑a4 i =1 –2 ∑ a2 i a2j (i , j=1,2,3) ;
