Электрические поля электрета с поверхностным зарядом
Электреты, в зависимости от характера внедренного заряда, наличия или отсутствия электродов, могут создавать электростатические поля как
внутри диэлектрика, так и в окружающем пространстве.
Если взять тонкую пленку полимерного диэлектрика, продольные размеры которой значительно превышают толщину, то ее можно считать «бесконечно протяженной». Именно для таких пленок в дальнейшем будут проводиться расчеты полей, токов релаксации и др. параметров электретов.
Зарядим поверхность пленки одним знаком заряда. Заряды захватятся поверхностными ловушками и будут удерживаться на них длительное время (рис. 12).
Рис. 12. Моноэлектрет без электродов создает в пространстве электрическое поле
Такой электрет создает в пространстве однородное электрическое поле. В вакууме вне диэлектрика оно будет определяться выражением:
а внутри пленки:
где σ- поверхностная плотность заряда, ε - диэлектрическая проницаемость пленки, ε0- электрическая постоянная (8.85*Ф/м).
Рис. 13. Конфигурация для расчета электрических полей внутри и вне электрета: I - нижний напылённый электрод, 2 верхний электрод, 3 - диэлектрический зазор, 4 - внешняя закорачивающая цепь, 5 - поверхностный заряд
Для практических и научных целей наиболее интересен случай расчета полей, когда электрет с одним напыленным металлическим электродом помещен на некотором расстоянии от второго металлического электрода, причем оба электрода соединены проводником - коротко замкнуты (рис. 13). Такая конфигурация характерна для установок, измеряющих параметры электрета, а также для всех типов электроакустических преобразователей - микрофонов, телефонов и др. Она же позволяет рассмотреть как предельные случаи свободный электрет и электрет с плотно прилегающими или напыленными обеими электродами.
Рассмотрим сначала простейший случай, доступный даже школьникам старших классов, когда поверхность полимерной пленки однородно заряжена - поверхностная плотность заряда одинакова во всех точках поверхности и равна ст. На практике такой случай бывает при электризации в коронном разряде.
Введем обозначения: s - толщина пленки, ε - диэлектрическая проницаемость пленки, s1- толщина зазора между электретом и верхним электродом 2, ε1- диэлектрическая проницаемость вещества в зазоре, Е - напряженность электрического поля внутри пленки, D - электрическая индукция в пленке, Е1 - напряженность электрического поля в зазоре. D1, - индукция электрического поля в зазоре, V - разность потенциалов между нижним электродом и поверхностью электрета (электретная разность потенциалов или поверхностный потенциал электрета), V1 - разность потенциалов в зазоре между поверхностью электрета и верхним электродом.
Поля в зазоре и в пленке, очевидно, будут однородными. Поэтому для их определения достаточно записать два уравнения: условие для нормальной проекции вектора электрической индукции на границе раздела диэлектриков, на которой имеется слой избыточного заряда:
D1-D=σ (6)
и условие короткого замыкания электродов 1 и 2:
V1+V=0 (7)
Переходя в уравнениях (6) и (7) к напряженностям, получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полей Е и Е1:
ε1ε0Е1-εε0Е=σ (8)
sE+s1E1=0 (9)
Решая систему, после несложных преобразований получим:
(10)
(11)
В предельном случае, когда электрод 2 удаляют на бесконечность от поверхности электрета, получается т.н. «свободный» электрет. Из 'формулы (11) видно, что поле в зазоре при этом исчезает, а в электрете становится равным:
(12)
Последнее выражение полностью совпадает с полем плоского бесконечно протяженного конденсатора с диэлектриком. В этом нет ничего удивительного, так как и в электрете и в конденсаторе имеются два противоположных по знаку параллельных слоя зарядов, одинаковых по величине. Их электрические поля по принципу суперпозиции складываются, внутри векторы напряженности полей слоев сонаправлены. а вне - противоположно направлены и компенсируют друг друга. Итак, свободный электрет бесконечной протяженности не создает в пространстве электрического поля. Однако для реальных электретов (как и плоских конденсаторов) этот вывод может быть использован с известной осторожностью, так как у них имеются края заряженной области, вблизи которых поле неоднородно и силовые линии выходят наружу. Кроме того, при зарядке могут возникнуть неоднородности в распределении поверхностного заряда по площади электрета, что также приведет к выходу силовых линий из электрета в окружающее пространство.
В этом можно убедиться, поставив простейший эксперимент. Надо положить заряженный электрет на лабораторном столе и подождать несколько дней. Оседающая из воздуха пыль, которая притягивается к местам выхода силовых линий, «проявит» рельеф поверхностного заряда. В центре образца поверхность остается чистой или менее запыленной, чем по краям, где видны резкие полосы осажденной пыли. Опыт, разумеется, можно ускорить, искусственно распыляя пыль над поверхностью электрета
Электрические поля электрета с пространственным зарядом
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в электрете имеется объемный заряд с плотностью ρ(х) (см. рис 8), а на поверхности пленки (при х=s) поверхностный заряд отсутствует (σ=0). Поле внутри электрета теперь не будет однородным. В этом легко убедиться, воспользовавшись уравнением Максвелла для вектора индукции электростатического поля:
divD=ρ.(13)
В нашем случае ρ зависит только от одной координаты (х), от одной координаты будут зависеть напряженность и индукция электрического поля. Кроме того, векторы направлены вдоль оси ОХ, что позволяет рассматривать только одну их проекцию на эту ось, модуль которой равен модулю соответствующего вектора. Тогда в уравнении (13) получим:
или, с учетом связи векторов D и Е:
(14)
То, что производная Е(х) отлична от нуля, доказывает зависимость от х вектора Е, т.е. неоднородность поля внутри электрета. Аналогичное уравнение можно записать для зазора, где нет пространственного заряда:
(15)
Поле Е,. очевидно, будет однородным. Система дифференциальных уравнений (14)-(15), дополненная двумя граничными условиями:
D1-D=0 или ε1ε0Е1-εε0Е=0 (16)
V+V1=0 или (17)
позволяет решить задачу - найти электрические поля в электрете и зазоре.
Интегрируя по х (14) и (15), получаем общее решение:
(18) E1=C2 (19)
в которое входят две произвольные постоянные - С/ и С,. Их легко найти, подставив (18) и (19) в граничные условия (16) и (17), в результате получается система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
Решая систему, находим произвольные постоянные, а затем и выражения для электрических полей в зазоре и пленке:
(20)
(21)
. Частные случаи полей электретов с пространственным зарядом
Полученные выражения носят общий характер, из них можно получить конкретные выражения для полей, если подставить выражение для объемной плотности захваченного заряда ρ(х).
Электрет с поверхностным зарядом
Рассмотрим, например, случай, когда заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью ст. Найдем выражение для объемной плотности заряда.
Рассмотрим рис. 14
Рис. 14
Выделим на пленке участок площадью S и объемом V =Ss. Полный заряд выделенного участка Q=σS. С другой стороны, этот же заряд можно вычислить через объемную плотность заряда:
откуда получаем связь σ и р(х):
(22)
Плотность заряда ρ(х)в пленке всюду равна 0, и только на самой поверхности (при х=s) обращается в бесконечность, так как весь заряд сосредоточен в слое бесконечно малого приповерхностного объема. В математике известна функция, обладающая такими свойствами - дельта-функция Дирака δ(х). Она равна нулю при всех значениях аргумента, кроме х = 0, при котором обращается в бесконечность. Логично поэтому представить объемную плотность заряда ρ (х) в виде произведения некоторой постоянной а на дельта-функцию δ(х-s), принимающую бесконечное значение при х = s:
ρ(x)=aδ(x-s) (23)
Дельта-функция обладает следующим свойством:
(24)
где f(x)- произвольная функция.
Бесконечные пределы можно заменить на конечные, включающие точку «скачка» дельта-функции, поскольку вне этой области подынтегральное выражение равно нулю. В нашем случае достаточно ограничиться пределами от 0 до s. Интегрируя (23) в этих пределах, по свойству (24) получаем:
(25)
Сравнивая с (22), приходим к выводу, что постоянная а равна δ. Таким образом, выражение для ρ(х) приобретает вид:
ρ(х)=σδ(x-s) (26)
Вычислим поля Е и E1, подставив в общие формулы (20) и (21) выражение (26):
Откуда после, несложных преобразований, получаются уже известные нам формулы (10) и (11).
Свободный электрет. «Прямоугольное» («ступенчатое») распределение заряда
В случае объемного заряда также можно рассмотреть случай свободного электрета, когда верхний электрод отсутствует (удален на «бесконечность»). В пределе при s1→∞ из (20) и (21) получаем:
E1=0 (27)
(28)
Таким образом, вне электрета поле также будет равно нулю. Остается найти только напряженность поля внутри диэлектрика,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
