Запишем уравнение неразрывности для раствора:
|
(2.22) |
В (2.22) подставим (2.18), получим
|
|
Учитывая (2.20), (2.21) и независимость от пространственных координат, получим
|
(2.23) |
Опустим штрих, предполагая в дальнейшем – плотность примеси.
|
(2.24) |
Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:
Первое слагаемое описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;
Второе слагаемое отвечает за конвекцию;
Третье слагаемое отвечает за диффузию.
Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.
На практике в (2.24) слагаемым можно пренебречь, в силу его малости.
2.4. Метод характеристик
Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется
|
. |
(1) |
Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).
Задача Коши для уравнения (1).
Требуется найти функцию , где и удовлетворяющую условиям:
|
(2) |
Получим решение задачи методом характеристик.
Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных и к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:
|
. |
(3) |
Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:
|
(4) (5) |
где уравнение (4) – уравнение для характеристик.
Из (5) следует, что , где некоторая постоянная. Но т.к. , то .
Из (4) получаем
|
. |
(6) |
Равенство (6) – решение уравнений характеристик.
Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости ,, т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).
Пусть при , , т.е.
|
; |
|
|
. |
(7) |
Подставляя (7) в (2), получим
|
. |
(8) |
Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:
|
, |
(9) |
|
. |
(10) |
Подставим уравнение (10) в (9), получим
|
. |
(11) |
Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).
Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью .
Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)
|
,,, |
(1) |
|
. |
(2) |
|
. |
(3) |
Рис.4.
На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при начальное условие, а при граничное условие, граничная характеристика.
Для задачи Коши решенной ранее,
|
О а)
О б) Рис. 5 |
(или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие . Если (), то будет влиять только граничное условие . |
Получим решение для граничного решения.
|
(5) |
Запишем уравнения (1) в виде
|
(6) (7) |
Из (6) следует, что , где .
Учитывая (3) получим .
Интегрируя (7) получаем
|
. |
(8) |
Пусть при , тогда
|
(9) |
Разделим обе части (9) на получим
|
. |
(10) |
При ,
|
. |
(11) |
Подставляя (11) в (3) получаем
|
. |
|
Тогда решая систему
|
|
получаем решение граничной задачи в виде
|
. |
(12) |
В (12) .
Решение начально-краевой задачи будет иметь вид
|
, |
|
где , единичная функция Хевисайда.
Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения
Построим формулу Даламбера для уравнения
|
, , |
(1) |
Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.
|
. |
(2) |
Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:
|
(3) (4) |
Интегрируя (4), получим
|
(5) |
Пусть при , , тогда
|
. |
|
Подставим (5) в (3), получим
|
. |
|
|
, |
(6) |
|
, |
(7) |
|
. |
(8) |
Исключим в (6) для этого учтем начальное условие (7).
|
, |
|
|
. |
(9) |
Подставим (9) в (6), получим
|
, |
|
|
. |
(10) |
Исключим в (10) и , потом :
|
. |
(11) |
Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).
Покажем что (11) является решением (1).
Продифференцируем формулу (11) по , получим
|
. |
(12) |
Продифференцируем формулу (11) по , получим
|
. |
(13) |
Подставляя (13) и (12) в (1), получаем
|
. |
|
Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).
Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения
|
, , |
(1) |
|
. |
(2) |
|
. |
(3) |
Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).
Решение будем искать в виде дифференцируя которое по , получим
|
. |
|
Умножая правую и левую части на , приходим к выражению
|
. |
(4) |
Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений:
|
(5) (6) |
Из (6) следует, что . Пусть при , , тогда .
Откуда получим
|
. |
(7) |
Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим
|
. |
|
|
(8) (9) (10) |
Исключим в (8) , для этого учтем граничное условие (9).
|
|
|
|
. |
|
Подставим (11) в (8), получим
|
(12) |
Исключим в (12) , и получим
|
. |
|
|
, |
(13) |
