│ │ y │ x1 │ x2 │ x3 │ x4 │ x5 │
├─────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ y │ 1.00 │ 0.30 │ 0.53 │ 0.60 │ -0.51 │ 0.26 │
│ x1 │ 0.30 │ 1.00 │ 0.27 │ 0.10 │ -0.33 │ 0.02 │
│ x2 │ 0.53 │ 0.27 │ 1.00 │ 0.74 │ -0.04 │ 0.17 │
│ x3 │ 0.60 │ 0.10 │ 0.74 │ 1.00 │ -0.03 │ 0.15 │
│ x4 │ -0.51 │ -0.33 │ -0.04 │ -0.03 │ 1.00 │ -0.31 │
│ x5 │ 0.26 │ 0.02 │ 0.17 │ 0.15 │ -0.31 │ 1.00 │
└─────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x3 – числом медицинских работников на 10 тысяч населения (ryx3=0.60).
Одним из основных препятствий эффективного применения регрессионного анализа, является мультиколлинеарность (наличие сильной корреляции между независимыми переменными, входящими в уравнение регрессии x1,x2,x3,x4,x5). Наиболее распространенный метод выявления коллинеарности основан на анализе парных коэффициентов корреляции. Он состоит в том, что две или несколько переменных признаются коллинеарными (мультиколлинеарными), если парные коэффициенты корреляции больше определенной величины. На практике наиболее часто считают, что два аргумента коллинеарны, если парный коэффициент корреляции между ними по абсолютной величине больше 0,8.
В данном примере ни один парный коэффициент корреляции не превышает величины 0,8, что говорит об отсутствии явления мультиколлинеарности.
Приступим непосредственно к регрессионному анализу.
Построим регрессионную модель по следующим факторам: х1, х2, х3, х4 и х5. Для расчета параметров уравнения регрессии используем стандартную программу многошагового регрессионного анализа с последовательным отсевом факторов.
На первом шаге построения модели в уравнение линейной регрессии вводятся все указанные выше переменные. В результате получена следующая модель:
ŷ= 57.700+0.000*x1+0.056*x2+0.173*x3-0.182*x4+0.007*x5.
Прежде чем осуществлять проверку значимости уравнения регрессии и коэффициентов регрессии, следует убедиться, что выполняется необходимое для этого условие, а именно следует проверить, является ли распределение остатков (т.е. отклонений эмпирических значений зависимой переменной от расчетных) нормальным. Для проверки данного условия используем критерий согласия Пирсона , рассчитанные значения которого приведены ниже:
Проверка нормального закона распределения
критерий хи-квадpат
.число степеней свободы 3
.хи-квадpат pасчетное 1.571
веpоятн. хи-квадpат заключение
уpовень теоpетическое о гипотезе
0.900 6.226 не отвеpгается
0.950 7.795 не отвеpгается
0.990 11.387 не отвеpгается
Таким образом, можно сделать вывод, что гипотеза о нормальности распределения остатков не отвергается с доверительной вероятностью 0.95 (=7.795).
Проверка значимости уравнения регрессии показала, что оно значимо на уровне доверительной вероятности 0,95. (см. приложение 3.1)
Уровень множественного коэффициента детерминации (0,625) свидетельствует о том, что воздействием включенных в модель факторов обусловлено 62,5% вариации средней продолжительности жизни в странах Африки.
Далее осуществляется проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии на основе t-критерия Стьюдента. Для определения , используем таблицу распределения Стьюдента: =2,093 (α=0,05 и ν=n-k-1=25-5-1=19).
По нижеприведенной таблице (гр.5 t-значения) статистически существенными оказались только два коэффициента регрессии при переменных и (|t|>).
Оценки коэффициентов линейной регрессии
┌───┬──────────┬───────────┬───────────────┬───────────┬────────┬─────────┐
│ N │ Значение │ Дисперсия │ Средне- │ t - │ Нижняя │ Верхняя │
│ │ │ │ квадатическое │ значение │ оценка │ оценка │
│ │ │ │ отклонение │ │ │ │
├───┼──────────┼───────────┼───────────────┼───────────┼────────┼─────────┤
│ │ 57.70 │ 59.12 │ 7.69 │ 7.50 │ 44.37 │ 71.03 │
│ │ 0.00 │ 0.00 │ 0.00 │ 0.36 │ -0.00 │ 0.00 │
│ │ 0.06 │ 0.01 │ 0.08 │ 0.66 │ -0.09 │ 0.20 │
│ │ 0.17 │ 0.01 │ 0.08 │ 2.21 │ 0.04 │ 0.31 │
│ │ -0.18 │ 0.00 │ 0.06 │ -2.96 │ -0.29 │ -0.08 │
│ │ 0.01 │ 0.00 │ 0.06 │ 0.12 │ -0.09 │ 0.11 │
└───┴──────────┴───────────┴───────────────┴───────────┴────────┴─────────┘
Среди незначимых коэффициентов регрессии наименее существенно по значению t-критерия является коэффициент регрессии при переменной (среднегодовой индекс роста производства продовольствия), t=0.12. Этот фактор и подлежит исключению из модели в первую очередь.
Исключив указанный фактор, на втором шаге получаем уравнение регрессии следующего вида:
ŷ= 58.478+0.000*x1+0.057*x2+0.173*x3-0.184*x4 .
Величина коэффициента детерминации на этом шаге не изменилась и составляет 0,625, гипотеза о значимости уравнения также не отвергается с вероятностью 0,95 (см. приложение 3.2).
Т.к. значение степеней свободы на каждом этапе построения модели изменяется (в связи с уменьшением числа объясняющих переменных), то также меняется. Тогда при α=0,05 и
ν=n-k-1=25-4-1=20, =2,086. Таким образом, значимыми являются коэффициенты регрессии при факторах и , а среди оставшихся незначимых наименьшее значение t-критерия, которое равно 0,35, принадлежит коэффициенту регрессии при переменной . Поэтому фактор (численность населения) из дальнейшего процесса исключается.
На третьем шаге уравнение регрессии имеет следующий вид:
ŷ= 59.036+0.066*x2+0.168*x3-0.191*x4 .
Воздействием включенных в модель переменных объясняется 62,2% вариации средней продолжительности жизни. Проверка на значимость уравнения регрессии показала, что оно значимо (на уровне значимости α=0,05). На этом шаге =2,080 (α=0,05 и ν=n-k-1=25-3-1=21), таким образом, статистически существенными оказались все коэффициенты регрессии, кроме коэффициента при объясняющей переменной , который и подлежит исключению по t-критерию из уравнения регрессии (t=0,87).
На последнем шаге регрессионного анализа получено значимое уравнение следующего вида:
Y=59.951+0.215x3-0.192x4.
Все коэффициенты регрессии значимы (см. приложение).
В результате моделирования зависимости средней продолжительности жизни в странах Африки можно сделать следующие выводы.
Уровень множественного коэффициента детерминации 0,609 свидетельствует о том, что 60,9% вариации зависимой переменной объясняется вариацией двух факторов:
x3 - число медицинских работников на 10 тыс. населения,
x4 - доля неграмотных.
Указанный уровень влияния достаточно высок, поэтому можно сделать вывод, что все факторы, оказывающие существенной влияние на среднюю продолжительность жизни, включены в модель, поскольку уровень остаточной вариации составляет 39.1%, объясняется воздействием случайных и неучтенных в модели факторов.
В рассматриваемом уравнении регрессии с изменением каждого фактора на одну единицу собственного измерения (при постоянном значении остальных факторов, вошедших в модель) зависимая переменная изменяется на соответствующий коэффициент регрессии βj отражает среднее приращение функции за счет единичного приращения j-го аргумента, независимое от изменения остальных учтенных в модели аргументов. Интерпретируемый таким образом коэффициент регрессии используется в экономико-статистическом анализе как средняя оценка эффективности влияния j-го аргумента на функцию.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
