где n1 , n2 - максимальное и минимальное значения показателя преломления n ( r ); - длина волны в вакууме.
В силу слабой канализации волн в световодах, т.е. n1 »n2 из (2.6) следует b » 2 p n / l, что совпадает с постоянной распространения плоской волны в направлении Z в бесконечной среде с показателем преломления n2 £ n £ n1 .
Таким образом, основная мода волоконного световода является квазипоперечной электромагнитной (Т) волной. В простейшем случае - это волна, однородно поляризованная только в одном направлении в отличии от мод высших порядков. Если обозначить направление поляризации через Х, поле в световоде можно представить в виде
, (2.7)
где - магнитная проницаемость среды;
= - диэлектрическая проницаемость среды;
- диэлектрическая проницаемость вакуума.
Здесь неявно подразумеваем временную зависимость . Компоненты поля Ey , Ez , Hx , Hz не учитываются поскольку они пренебрежимо малы, Y описывает пространственное изменение поля в плоскости, перпендикулярной оси световода. Следует отметить, что отражение плоской волны от границы раздела диэлектрических сред с близкими параметрами практически не чувствительно к поляризации падающей волны. Соответственно, и пространственное изменение поля Y должно быть нечувствительно к поляризационным эффектам, поэтому Y - решение скалярного волнового уравнения, т.е.
, (2.8)
где:
n ( r ) - профиль показателя преломления; l - длина волны в вакууме.
Таким образом, основная мода описывается решением уравнения (2.8), соответствующим наибольшему b и , не зависящей от угла . Для регулярного световода n ( r ) не зависит от длины, в случае нерегулярного световода n=n(x,y,z).
В практически интересных случаях применяют в одномодовых световодах оптические волокна как со ступенчатым, так и градиентным профилем. При этом наибольшее распространение получили оптические волокна с гауссовым и ступенчатым профилями. Эти волокна целесообразно применять и в волоконной гироскопии поэтому остановимся на их анализе подробнее.
При изготовлении световодов в следствии диффузии границы между оболочкой и сердцевиной реальные профили могут отличаться как от ступенчатого, так и от гауссова, занимая некоторое промежуточное положение (сглаженный ступенчатый профиль). При этом профиль показателя преломления представляют в виде :
(2.9)
где - параметр высоты профиля.
Численные решения волнового уравнения для ступенчатого и степенного профилей волокна [2] показывают, что форма Y (r) примерно гауссова. В соответствии с этими исследованиями поле моды HE11 можно представить в виде:
(2.10)
где r0 - размер светового пятна, определенный вариационным методом в [2].
Для решения волнового уравнения умножим его на
и воспользуемся тождеством:
(2.11)
После интегрирования в пределах от 0 до ¥ получаем
(2.12)
Кроме (2.12) появляется дополнительный член ,
который вычисляется при значениях r = 0 и ¥. Этот член равен нулю, поскольку конечно при r = 0 и экспоненциально стремиться к нулю при r ® ¥.
Размер пятна r0 выбирается из условия обеспечения наибольшего b, которое соответствует основной моде. Подставляя приближенное выражение (2.10) в (2.12), можно определить r0 из условия db2/ dr0 = 0. Приближение для постоянной распространения b получается далее подстановкой найденного r0 в выражение (2.12). Таким образом, зная r0 и b можно полностью характеризовать поле с помощью формул (2.7) и (2.10). Используем полученную методику для определения параметров r0 и b для профилей применяемых в волокнах для оптической гироскопии.
В случае гауссова профиля показателя преломления:
, (2.13)
где .
Таким образом, n(r) с ростом r от 0 до ¥ уменьшается плавно от n1 до n2. Поскольку чёткой границы между сердцевиной и оболочкой нет, то форму профиля определяет радиус сердцевины a. Такая форма профиля показателя преломления представляет практический интерес, так как является хорошим приближением реального случая, когда в процессе изготовления волоконных световодов происходит взаимная диффузия материала сердцевины и оболочки.
Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия db2/dr0 = 0 находим величину
(2.14)
Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V £ 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для
, (2.15)
где
(2.16)
Размер пятна r0 и постоянная распространения b полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.
Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :
, (2.17)
где e,m - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.
С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна
(2.18)
Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях D и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r0. Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.
) (2.19)
При V = 2 имеем r0 = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает с формой профиля показателя преломления.
В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:
(2.20)
( S =1, f = 0 при r £ a и S =0, f =1 при r > a).
Следуя методике определения r0 и b для световодов с гауссовым профилем, получаем
(2.21)
(2.22)
Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия V = exp(1/2) » 1.65 что соответствует
(2.23)
Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна
(2.24)
Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.
Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :
(2.25)
, (2.26)
где Nj , N-j - параметры нормировки.
Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна
(2.27)
Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна
(2.28)
где bl - скалярные постоянные распространения;
Yl- решение скалярного волнового уравнения (2.11).
Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n2 . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.
Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению
, (2.29)
где - распределение плотности тока; Ñ2 - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде
, (2.30)
где V - объём, в котором распределены источники тока;
- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).
Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n2 и имеет вид
, (2.31)
где , а c - угол между векторами и .
Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
