Кроме того, из формулы (1-3) вытекает, что скорость любого движения можно представить как результат сложения трех прямолинейных движений вдоль координатных осей X,Y и Z ,т.е. любое сложное движение можно представить как сумму прямолинейных движений ( принцип суперпозиции движений ). Примером применения этого принципа может служить вычисление так называемой первой космической скорости, т.е. такой скорости, которою надо сообщить любому телу параллельно земной поверхности, чтобы оно никогда не упало на Землю. В прене-
А vI D t С
RЗ B
RЗ
O
Рис.3. К выводу первой космической скорости.
брежении
сопротивлением воздуха задача может быть решена следующим образом. Движение
тела, брошенного вдоль земной поверхности можно представить как сумму двух
движений: равномерного горизонтального движения со скоростью бросания vI
и свободного падения
тела к поверхности Земли с ускорением g (ус-корением
свободного падения). За достаточно малый промежуток времени Dt тело пройдет,
двигаясь перпендикулярно земному радиусу, расстояние АС = vI Dt. (см.рис.3) Если
же за это
время, находясь в свободном падении, тело опустится на расстояние ВС так, что ОВ = АО =Rз, то очевидно, что тело сохранит неизменной свою высоту над поверхностью Земли. Из D АОС по теореме Пифагора следует:АО2 + АС2 = ОС2.В то же время АС = vI Dt, АО » RЗ (RЗ - радиус Земли), ОС = ОВ + ВС = + (1/2)g(Dt)2
( предполагается, что время Dt достаточно мало и проекцией скорости vI на направление АО можно пренебречь). Заменяя стороны D АОС на основании приведенных равенств, имеем:
. (1- 7 )
После приведения подобных членов и сокращения обеих частей этого уравнения на получим: . При Dt 0 выражение для первой космической скорости приобретает такой вид:
. (1- 8 )
Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело, двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение высоты полета при свободном падении на Землю в точности компенсируется за счет приращения расстояния до Земли при движении по касательной.
Однако случаи, когда тело сохраняет свою скорость неизменной, крайне редки. Наоборот, в общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения. Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к интервалу времени, за который произошло это приращение:
= v = . (1- 9 )
Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:
а = а x i + a y j + a z k . ( 1-10 )
Модуль вектора ускорения равен:
. ( 1- 11 )
Прямым
дифференцированием аналогично компонентам вектора скорости
можно найти, что компоненты вектора ускорения равны:
a x = v x = x ; a y = v y = y ; a z = v z = z . ( 1-12 )
Если известны зависимость от времени вектора ускорения и начальное значение вектора скорости, то вектор скорости в любой последующий момент времени путем интегрирования. Например, для проекции v x :
и , ( 1-13 )
где v x0 - проекция скорости на ось Х в начальный момент времени. Ранее указывалось, что по известной зависимости v (t) можно найти закон движения. Следовательно, по известному ускорению, зная начальные значения положения точки и ее скорости, можно найти ее закон движения. С точки зрения практики вектор ус-
D
vA B vB
Dv
A Dvn
E D vt C
Рис.4. Нормальная и тангенциальная
составляющие изменения скорости.
корения удобнее представлять в виде двух составляющих, одна из которых направлена по касательной к траектории, а другая по нормали, проведенной в точку касания. Пусть за время Dt точка переместилась из А в В, и за это время ее скорость изменилась от vA до vB .
Для того, чтобы найти изменение Dv пе-
ренесем вектор vB в точку начала вектора vA. Тогда разность двух векторов vB - vA
может быть представлена в виде вектора Dv = DC. В свою очередь,
вектор Dv мо-
жно представить тоже как сумму двух составляющих Dv = Dvn
+ Dvt , где вектор Dvt находится как разность АС-АЕ ( АЕ=АD, АС= vB
), т.е. как разность модулей векторов vB и vA. Вектор Dvn характеризует
изменение направления вектора vA , т.к. vA = АЕ = АD. Треугольник DAE равнобедренный,
поэтому при уменьшении интервала времени Dt до нуля (Dt 0) угол DAE также
стремится к 0, а ÐАDЕ 900,
и Dvn оказывается перпендикулярным направлению скорости. В то же время ясно,
что направление вектора Dvt при Dt 0 приближается к направлению касательной в точке А. Поэтому
. (1- 14 )
Первое из слагаемых в (1- 14 ) называют нормальной составляющей ускорения или просто нормальным ускорением, а второе - тангенциальным. Таким образом
, (1- 15 )
. (1- 16 )
Модуль полного ускорения определяется следующим выражением:
. ( 1-17 )
§ 1 - 2. Кинематика вращательного движения.
vA
vA a Dv
D l vB
r
a
Рис.5. К выводу центростре-
мительного ускорения
Частным примером
нормального ускорения служит
центростремительное ускорение, возникающее при
равномерном движении точки по окружности. Если
за малый промежуток времени Dt точка успевает по-вернуться на угол a, то как видно из рис.5,
между
перемещением Dl
, радиусом r , приращением Dv и
самой скоростью v можно записать следующее соотношение:
. ( 1-18 )
Из этого соотношения приращение скорости Dv равно:
(
1-19 )
Деля выражение ( 1-19 ) для приращения
скорости на промежуток времени Dt, имеем:
.
(1- 20 )
Для случая вращательного движения полезными оказываются такие дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость и угловое ускорение. Величина угловой скорости w определяется как отношение угла Dj, который описывает радиус-вектор точки за время Dt, т.е.
. ( 1-21 )
w
v
r
Dj Ds
Рис.6.К определению направ-
ления угловой скорости.
При этом угловой скорости приписывается определенное направление, которое определяется следующим образом: направление отсчета угла определяется направлением вращения, а направление w определяется правилом правого буравчика - оно совпадает с движением оси буравчика, когда он вращается в направлении вращения материальной точки ( см. рис.6 ). Вектор углового ускорения b определяется через изменение уг-
ловой скорости вращения за время Dt. При этом направление b совпадает с направлением w, если за время Dt происходит увеличение скорости w и направление b противоположно вектору w, если за время Dt угловая скорость уменьшается. Таким образом
. ( 1- 22 )
При вращательном движении между линейной скоростью точки, направлен-
ной по касательной к окружности вращения существует определенная взаимосвязь. Действительно
[w r ] , ( 1-23 )
где квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов - w и r.
Как известно, два вектора могут быть перемножены двумя способами -
скалярно и векторно. Поскольку при скалярном произведении векторов получается
число (скаляр), а скорость по определению - вектор, то остается только
векторный
способ перемножения векторов w и r. Направление векторного произведения так-же определяется по правилу
правого буравчика: первый вектор ( в нашем случае -это вектор w ) вращается по
кратчайшему направлению к второму вектору ( в нашем случае
- это радиус - вектор r ); движение оси буравчика при
таком вращении покажет направление векторного произведения
( см. рис.6 ).
