f21
l21
(f21) b . 2 r2
O2 Рис.14.
Компенсация
моментов внут-
ренних сил .
жения по всем элементам, на которые было разбито тело.
Сумму моментов
внутренних сил можно разбить по парам
слагаемых, обязанных своим возникновением взаимодействию двух элементов тела
между собой. На рис.14 пред-
ставлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. Проводя плоскость через
линию, соединяющую эти элементы, параллельно оси вращения О1О2,
нетрудно заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов равны по
величине и противоположно направлены, т.е. они компенсируют друг друга.
Действительно, силы f12 и f21 равны между собой; равны и их
составляющие (f12)
= (f21) . Кроме того равны и их плечи
[8]( l12=
l21 ), т. к. каждое из них
перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому момен-
ты сил М1 = ( f12) r1sin(900 - g) = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900 - b) = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S Мi , где Mi = [ ri Fi].
Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:
==, ( 4-5 )
где величину принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.
I =, где ji = mi - момент инерции материальной точки.
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.
Iпроиз = Iцм + m d 2 . ( 4-6)
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2.
Форма тела Расположение Величина
оси момента
инерции
Обруч m R2
Цилиндр
Шар
Примечание: m- масса тела, R - его радиус
На основании изложенного уравне-ние (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду:
, ( 4-7 )
которое
называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или
уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно
представить по другому, т.к. по
аналогии с правой частью величину
[riaimi]=[=
называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если
обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму = L , то уравнение (4-7) можно за-
писать так: . ( 4-8 )
L
O mv
r a
A
Рис.15.Момент
импуль-
са материальной точки.
Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы [ ri mi vi] = [ri pi] = Li . Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси:
L = [ r p ] , (
4-9 )
где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на
р ). Для вращательного движения точки L = [r mv] =
[r mwr] = w mr 2 = w Ii
. Для твердого тела
L = wI
. ( 4-10 )
§ 4-4. Закон сохранения момента импульса.
Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп ( см. рис 16 ).
L1
dj
M L2 dL
mg
Рис.16 Прецессия гиро-
скопа.
Гироскопом принято
называть достаточно массивное
тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Гироскоп закрепляют в одной
точке с помощью специального устройства - карданова подвеса . Если на
гироскоп действуют внешние силы ( груз mg на рис.),
то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа повернет-
ся на угол dj так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ldj. В то же время из уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или Ldj = M dt , откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии.
. ( 4-11 )
Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирке).
[1] В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила
поведения, физические законы носят
описательный характер и отражают реальные соотношения между различными
явлениями природы.
[2] Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические размеры малы по сравнению с характеристическими расстояниями конкретной задачи.
[3] Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был опубликован в 1687 г.
[4] Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить подвеса. В быту силу в Ньютонах измерять не принято.
[5] Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями» оккультных «наук».
[6] Положительное направление оси координат удобно направить вниз.
[7] Для упрощения изложения материала силы трения качения не рассматриваются .
[8] Плечом силы называют величину r sina (cм. выражение (4-2) и обозначения рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.
