Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:
, ( 3-5 )
где = М - полная масса системы точек.
Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):
. ( 3-6 )
Величины mivi представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому урав-нение ( 3-6 ) можно переписать в следующем виде:
= Р, ( 3-7 )
где через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ), находим выражение для ускорения центра масс системы А:
. ( 3-8 )
§ 3 -2 Закон изменения импульса системы материальных точек.
Для
простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на
каждую из которых действуют внутренние силы fik
и внешние - Fi , где индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки имеют
вид:
( 3-9 )
Складывая эти уравнения, получим:
( 3-10 )
По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и противоположны по направлению ( например, f12 = -f21). Потому сумма всех внутренних сил равна нулю, и
, ( 3-11 )
где через Р обозначен суммарный импульс системы. Обобщая ( 3-11 ) для любого числа материальных точек, можно записать следующее выражение:
, ( 3-12 )
которое принято называть законом изменения импульса системы материальных точек. Как видно из этого выражения, изменение суммарного импульса определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. Если же эта равнодействующая равна нулю ( или на систему не действуют никакие внешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным. Это следствие уравнения ( 3-12 ) называется законом сохранения импульса. Другим следствием рассмотренного закона изменения импульса служит теорема о движении центра масс, которая утверждает, что центр масс системы материальных точек под действием внешних сил движется как материальная точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы, и записывается в таком виде:
МА =. ( 3-13 )
Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).
Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.
Лекция 4. Динамика твердого тела.
§ 4-1. Кинематические соотношения.
Твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, жестко скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления
существенно затруднило бы описание движения всего конгломерата точек. Для
полного описания движения одной точки необходимо знать ее три координаты,
поэтому для N точек число необходимых координат , а
следовательно, и число уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N может быть как угодно большим,
то возможности строгого решения системы из 3N уравнений весьма ограничены.
Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно
различают поступательное, вращательное и плоское движения. При поступательном
движении все точки тела движутся по параллельным траекториям, так что для
описания движения тела в целом достаточно знать закон движения одной точки. В
частности, такой точкой может служить центр масс твердого тела. В этом случае
задача описания движения тела решается с помощью теоремы о движении центра
масс. При вращательном движении все точки тела описывают концентрические
окружности, центры которых лежат на одной оси. Скорости точек на любой из
окружностей связаны с радиусами этих окружностей и угловой скоростью
вращения: vi = [w ri
]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою форму,
радиусы вращения остаются постоянными и
= [ bri] . ( 4-1 )
§ 4-2. Определение момента силы.
Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы
M
O f
r a
A
Рис.11. Момент силы от-
носительно точки.
относительно точки и относительно оси. Если сила f приложена к материальной точке А(см. рис.11),то моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О к точке А, и вектора силы:
М = [ r f ] . ( 4-2 )
Модуль векторного произведения = r f sin a, а на-
правление вектора
М определяется правилом правого
буравчика: направление первого вектора r по кратчай-
шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика
z Mz
f
f
O f
r a
А
Рис.12. Момент
силы от-
носительно оси.
при этом вращении показывает направление вектора М.
Моментом силы относительно произвольной оси z
называется векторное произведение радиуса-вектора r
и составляющей f силы f , приложенной в точке А:
М = [ r f ] , ( 4-3 )
где составляющая f представляет собой проекцию си-
лы f на плоскость, перпендикулярную оси z и проходящую через точку А , а r - радиус-
вектор точки А, ле-
жащий в этой плоскости .
§ 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
О1
ri
mi
О2
Рис.13 Вращение
твердого тела.
Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью w. Движение каждого из отдельных элементов малой массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i -го элемента имеем:
mi ai = fi1+ fi2 + ..... +fiN + Fi , ( 4-4 )
где fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе части уравнения на ri :
ri( mi ai )t= ri(ri(fi1)t + ri(fi2)t + ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )
В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-
1 O1
(f12)
f12 r1
g
l12
