Чтобы убедиться в справедливости неравенства , заметим, что для любого мы имеем
,
а значит, и супремум выражения , вычисленный по всем ,не превосходит β, т.е. справедливо неравенство , что и требовалось доказать.
Чтобы проверить неравенство , заметим, что для любого и такого, что , имеем .
Если же x=0, то . Поэтому , что и требовалось доказать.
Определение. Общее значение выражений
(3)
называется нормой оператора A и обозначается через .Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.
Будем рассматривать банахово пространство , полуупорядоченное конусом , и оператор произвольной природы, действующий в [29].
Определение. Выпуклое множество называется конусом, если вместе с каждой своей точкой оно содержит луч, проходящий через , и если из вытекает, что (лучом, проходящим через точку , называется совокупность точек ).
Определение. Конус называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент пространства может быть представлен в виде , то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства следует, что , где – константа нормальности, не зависящая ни от , ни от .
Определение. Множество функционалов сопряженного пространства , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса , называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус .
Будем говорить, что является квазивнутренним элементом, и обозначать , если для каждого ненулевого функционала выполняется неравенство . Положительный линейный оператор назовем неразложимым, если для любого из неравенства , следует, что .
В соответствии с [44], условимся писать, что , если .
В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.
Полугруппа (конус) К называется нормальной (нормальным), если существует такое постоянное число N, что для всех x, y Î E, удовлетворяющих соотношению
q £ x £ y,
имеет место неравенство
||x|| £ N||y||.
В этом случае говорят, что норма в Е полумонотонна.
Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Zp нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве с нормой
не обладает свойством нормальности.
Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильно полуупорядоченным. Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным.
Определение. Конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.
Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rn являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.
Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.
Определение. Пусть x, y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е. Точной верхней гранью элементов x, y назовем такой элемент u = sup{x, y}, который обладает свойствами:
10. u ³ x, u ³ y;
20. для всякого элемента w:
w ³ x, w ³ y
следует, что
u £ w,
т.е. sup{x, y} является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.
Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х, у существует sup{x, y}, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).
Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rn, конусы неотрицательных функций в пространствах С[a,b], , конусы неотрицательных последовательностей в пространствах lp (р ³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.
Для миниэдральных конусов, наряду с понятием точной верхней грани элементов х, у, вводится понятие точной нижней грани элементов х, у, т.е. inf{x, y}. Приведем соответствующее определение.
Определение. Для данных элементов х, у из Е, Е – полуупорядоченное пространство, точной нижней гранью назовем такой элемент v = inf{x, y}, который обладает свойствами:
10. v £ x, v £ y;
20. для всякого элемента w1:
w1 £ x, w1 £ y
выполняется неравенство
v ³ w1,
т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х, у.
Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К.
Определение. Конус К называется сильно миниэдральным, если для каждого ограниченного сверху по конусу К множества элементов М существует точная верхняя грань.
Ясно, что каждый миниэдральный конус является сильно миниэдральным. Обратное не верно, т.е. конус может быть миниэдральным, не будучи сильно миниэдральным. Миниэдральные конусы обладают рядом замечательных свойств, теория полуупорядоченных пространств с сильно миниэдральными конусами выделена в специальный раздел функционального анализа, который называется теорией структур. Основы теории структур были заложены в работах известного математика Биркгофа [5], [15].
Определение. Критерием качества К мы назовем любой критерий сравнения векторных величин x, y, который удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):
. Если , то при всяком и при ; при этом, если и , то для элемента (-х) соотношение нарушается;
. Если и , то .
Критерий качества К будем называть отношением предпочтения. Множество всех элементов х, являющихся предпочтительнее нулевого элемента , будем называть конусом.
Отметим, что из перечисленных свойств , критерия качества вытекают следующие важные свойства конуса К:
1) если и , то при и при < 0;
2) из uKи v K следует, что (u + v) K;
3) если х К и (-х) К, то х = .
При наличии в конуса К у нас появляется возможность устанавливать отношение предпочтения > для некоторых (не для всех) пар х, у элементов, если условиться считать, что х у в том и только в том случае, если (х - у) К. Отметим при этом, что все приведенные выше свойства , соблюдаются.
Пример конуса в множестве n-мерных векторов - это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через Хотя понятно это не единственный пример конуса в . Так в случае n = 3 это множество векторов первого октанта, хотя в можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:
L
K
Рис.1
«Круглый» конус, изображенный на рис.1 - это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей - линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).
Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 - это единственно возможное число граней конуса на плоскости.
Рис.2
Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространстве минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.
Тогда миниэдральным конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.
Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.
