10) A=(aij) (i,j=1,2,3…); (2)
20) A – интегральный оператор вида
, (3)
где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и выполняется условие:
. (4)
При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].
Введем в рассмотрение следующие функции
,. (5)
Теорема 1. Пусть для некоторого aÎ[0,1] выполняется следующее неравенство
Pa(t)Q1-a(t)£1 (tÎW) (6)
и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:
10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;
20) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW, mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).
Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:
r(A)<1.
Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).
Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида
,
где - фиксированный элемент из , вытекает оценка снизу
для спектрального радиуса линейного положительного оператора , а из неравенства вида
(7)
(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для вида
. (8)
Для этого, например, достаточно, чтобы конус был телесным и нормальным, и чтобы был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки сверху, оценка снизу верна при единственном предположении о том, что .
Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида
, (9)
где - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка
? (10)
При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов и на фиксированном элементе конуса .
Теорема 2. Пусть конус - телесен и нормален, - внутренний элемент конуса . и - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.
. (11)
Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполняется неравенство
,
тогда для спектральных радиусов и операторов и справедливо следующее неравенство:
.
Доказательство.
Перейдем в пространстве к - норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус нормален. Тем самым пространство будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора справедливо равенство
. (12)
Действительно, из неравенства
,
справедливого для любого , в виду положительности оператора следует, что
,
откуда, учитывая монотонность -нормы, получим
,
и, следовательно, по определению нормы оператора
. (13)
С другой стороны, из свойств нормы следует, что
. (14)
Из (14) и (13) следует равенство (12).
Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем
. (15)
По индукции легко доказать, что для любого имеет место неравенство
,
и в силу монотонности -нормы
.
Поэтому, согласно (12),
. (16)
Т.к. в силу эквивалентности -нормы и нормы пространства можно написать, что
, , (17)
то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:
.
Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из
следует оценка
. (18)
Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.
Теорема 3. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор неразложим, тогда операторы и имеют общий собственный вектор.
Доказательство.
Пусть - собственный вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы и коммутируют, то для любого имеем:
.
Тогда
,
следовательно - собственный вектор оператора , . Т.к. - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:
,
где .
Тем самым у оператора есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов и есть общий собственный вектор .
Теорема доказана.
Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность линейных положительных операторов, из которых хотя бы один является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что для всех , где для каждого . При этом .
Доказательство.
На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из имеют общий собственный вектор (), причем .
является собственным значением соответствующего оператора и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор оператора и собственный функционал оператора , где - сопряженная к полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим
и .
Теорема доказана.
Приведем достаточно известный [22] результат.
Теорема 5. Если , то уравнение
(19)
имеет единственное решение
,
которое является пределом последовательных приближений
(20)
при любом .
Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана
.
Перейдем к рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство
, ().
Пусть выполнено одно из условий:
1) вполне непрерывен, - квазивнутренний элемент ;
2) конус телесный и нормальный, - внутренний элемент ;
3) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный;
4) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ;
5) оператор допускает представление
,
где - вполне непрерывен, , конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .
Тогда справедливо строгое неравенство
.
Доказательство.
В силу теоремы 5 уравнение
имеет решение
.
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству
. (21)
Т.к. - неразложим, то из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом выполнено неравенство
. (22)
В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению оператора . Тогда
,
и из (22) вытекает
.
Откуда
.
