Следовательно,
.
Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют, т.к. если операторы и полукоммутируют, и оператор неразложим, то имеет место равенство:
,
т. е. операторы и коммутируют.
Замечание 2. Используя равенство
можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства
вытекает оценка
.
Пример. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
; ; , .
Имеем , , т.е. . Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно
.
В то время как точное значение спектрального радиуса: .
Заметим, что использование коммутирующего оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .
§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].
Теорема 1 . Пусть - матричное ядро. . Функции , заданны в квадрате , за исключением прямой t=s, , . Пусть r=-спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда
, где p>0, q>0, 1/p + 1/q =1,
где
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим систему
. (2)
Так как - спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(3)
Представим (4)
Вычтем почленно из (2) тождество (4):
.
Так как , то , таким образом:
Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,
получим:
=
=
согласно (4)
=
учитывая (1) и (3)
.
Возведем обе части в степень q.
, тогда
Проинтегрируем по t
,
учитывая (3) получим:
или
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.
Теорема 2. Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве
.
Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора в пространстве,
, ,
докажем, что
.
Для доказательства теоремы рассмотрим систему
. (5)
Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(6)
Умножим обе части уравнения (5) на . Получим
. (7)
С учетом (5) ,
тогда (7) запишется следующим образом:
(8)
Умножим обе части выражения (8) на , получим
. (9)
Проинтегрируем обе части выражения (9) по
.
Тогда
Учитывая (6),получим
Из неравенства Гельдера для
получим
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного
положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента со значением комбинации элементов , где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого и выполняется неравенство
, (1)
то
.
Если для верна оценка , тогда
. (2)
Доказательство.
Существует такой функционал , что
и ,
где - собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал к (1):
,
,
.
Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому
.
Заменив на , мы только усилим неравенство (т.к. ):
.
Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
; ; ; ,
поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .
При получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:
Пусть оператор неразложим и , K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть - воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и для некоторого выполняется неравенство
,
где , . Тогда
.
Если для верна оценка , тогда
.
Теорема 3. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Пусть для некоторого выполняется неравенство
, (3)
где , . Тогда верна оценка:
,
где - наименьшее позитивное собственное значение оператора .
Доказательство.
Применим к (3) функционал из теоремы 1:
.
Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому
.
Т.к. , то заменив в последнем неравенстве на , только усилим его:
,
таким образом . Теорема доказана.
Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор также неразложим, тогда будет верна оценка:
.
Теорема 4. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.. Пусть - неразложим, и пусть для некоторого выполняется неравенство
,
, . Если спектральный радиус оператора известен и , то
.
Если для известна оценка и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству
. (4)
Предположим, что , тогда, усиливая неравенство (4), получим
,
,
что противоречит предположению. Остается принять, что . Усиливая неравенство (4), получим
.
Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4) на большее число , повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим и для некоторого выполняется неравенство
,
, . Если наименьшее позитивное значение оператора известно и , то
.
Если для известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.
Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор также неразложим, спектральный радиус оператора известен и , тогда верна оценка:
.
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого выполняется неравенство
,
где , и , то верна оценка:
.
Доказательство.
Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству
, (5)
из которого следует, что . Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что , и усилив неравенство (5), получим
,
что противоречит условию. Остается принять, что . Усиливая неравенство (5), получим , откуда следует
.
Теорема доказана.
Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.
Глава III.
Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца
§1. Пространства Лебега и Лоренца
Введем понятие группы преобразований [5]. Пусть есть два преобразования f и g. G называется группой, если для любых f и g, таких, что выполняются следующие условия:
