Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле
Курсовой проект по Физике.
“Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле.”
Теория возмущений
Постановка вопроса
Лишь в очень немногих случаях задачу о нахождении квантовых уровней системы (т.е. о нахождении собственных значений и собственных функций оператора энергии Н) удается разрешить с помощью изученных в математике функций. В большинстве проблем атомной механики таких простых решений не существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе, для которой собственные значения Е° и собственные функции j° известны. Такая возможность представляется тогда, когда оператор энергии Н рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н° более простой системы.
Точное значение слов "операторы мало отличаются" выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которые относятся к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим, что нам известны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме. Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атом поместить во внешнее электрическое или магнитное поле.
Достигаемые на опыте поля обычно малы в сравнении с внутриатомным кулоновским полем[1]. Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будет говорить, возмущение (этот термин заимствован из небесной механики и применялся первоначально для обозначения влияния одной планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтены слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, магнитные, а в иных случаях даже и кулоновские. Общие методы решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений.
Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен
Н = Н° + W . (66.1)
Добавок W будем рассматривать как малый и будем называть энергией возмущения (или иногда кратко ¾ возмущением). Далее, мы предполагаем, что собственные значения Е° оператора Н° и его собственные функции j° известны, так что
Н° j° = Е° j°. (66.2)
Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера
Нj = Еj. (66.3)
Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2).одним членом Wj, который мы считаем малым.
Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е° оператора Н , т.е. уравнение (66.2) берут в "Е° "-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этого представления перейти к "Е° "-представлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком n у волновой функции j можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н° будут j° (х). Разложим искомую функцию j (х) по функциям j° (х):
j (х) = Sс j° (х). (66.4)
Тогда совокупность всех с есть не что иное, как функция j в "Е° "-представлении.
Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на j° * (х) и интегрируя по х, получим
S Н
с = Ес , (66.5)
где Н есть матричный элемент оператора Н в "Е° "-представлении:
Н = Ij° * Hj° dx.
(66.6)
Матрица, образованная из элементов Н , есть оператор Н в "Е° "-представлении. Имея в виду (66.1) и (66.2),
получаем
H = Ij° * (H° + W) j° dx=
= Ij° * H° j° dx + Ij° * W j° dx = E° d
+ W (66.6')
где W есть матричный элемент энергии возмущения в "Е° "-представлении:
(66.7)
Матрица, образованная из элементов W , есть оператор W в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим
(66.8)
Перенося все члены налево, находим
(66.9)
где n и m пробегают все значения, которыми нумеруются функции невозмущенной системы j .
Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин W . Чтобы явно выразить степень малости W, положим
(66.10)
где l¾ малый параметр. При l=0 оператор Н переходит в Н .
Тогда уравнение (66.9) запишеится в виде
(66.11)
Это уравнение мы будет решать по степеням l, считая l
малой величиной. При l=0 из
(66.11) получается просто уравнение (66.2) в "Е° "-представлении:
(66.12)
имеющее решение
(66.13)
При малых значениях l естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, если представим собственные функции с уравнения (66.11) и его собственные значения Е в виде рядов по степеням малого параметра l:
(66.14)
и
(66.15)
При l=0 (66.14) и (66.15) переходит в (66.13),
причем Е должно равняться Е . Оказывается, что
решение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояния
системы Н или нет. Если они вырождены, то каждому собственному
значению Е принадлежит несколько собственных функций j , если не вырождены, ¾ то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим
порознь.
Возмущение в отсутствие вырождения
Пусть каждому собственному значению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция j , соответственно ¾ одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра l
(67.1)
Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом
последовательных приближений. Мы получим нулевое приближения, если положим l=0; тогда получаем
m
= 1,2,3,…, k, … (67.2)
Это ¾ уравнение для невозмущенной системы Н
. Пусть нас интересует, как меняется уровень Е и собственная функция
j под действием возмущения W.
Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:
(67.3)
т.е. все с =0, кроме с =1.
Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
(67.4)
где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы
должны считать эти члены малыми и отбросить их. Тогда получаем
(67.4')
Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m
= k, то получим
(67.4'')
Отсюда находим поправку к Е первого приближения:
(67.5)
Из уравнений c m = k находим поправки к амплитудам c ,
именно, если m = k, то (67.4') дает
(67.4''')
Отсюда
(67.6)
Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с l . Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в
(67.1), тогда
