(69.12)
а для второго корня (e , знак ¾).
(69.12')
Таким образом, получаются следующие решения (в "х"-представлении):
(69.13)
и
(69.13')
причем
(69.14)
(69.15)
Весьма важным является частный случай, когда
(69.16)
Для этого случая имеем
(69.17)
(69.17')
Преобразование (69.3) есть поворот. Мы можем получить
прямую геометрическую аналогию, если будем считать b = 0 (это требует, чтобы W
= W ). Тогда коэффициенты a
действительны. Частные значения коэффициентов a ¾ коэффициенты с ¾ также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать,
полагая c = , c =
:
(69.18)
(индекс k мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы
(69.19)
то средним значением энергии возмущения в состоянии (69.18) будет
(69.20)
Согласно (69.6) получим
(69.21)
Это уравнение можно рассматривать как уравнений кривой второго порядка на
плоскости ( , ). Таким образом, среднее значение W есть
квадратичная форма от амплитуд ( , ), представляющих состояние .
Введем теперь вместо системы координат новые координаты , отличающиеся от первых поворотом на угол q
(69.22)
Подставляя в (69.18), получим:
(69.23)
Относительно функций j и j матрица W должна быть диагональной. Действительно
(69.24)
Поэтому среднее значение в состоянии представится теперь в ином виде:
(69.25)
т.е. в новых переменных , средняя энергия является кривой второго
порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).
Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям). В более общем случае и комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется, если и и в этом случае рассматривать как координаты точки.
Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле
Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (n=2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай.
Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями:
(73.1)
Согласно (25.16)
(73.2)
Далее, из (50.1) получаем радиальные функции: R
(73.3)
где a ¾
радиус орбиты Бора, а и ¾ нормирующие
множители. Пользуясь тем, что, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cosq,
мы можем написать функции (73.1)
в виде
(73.4)
Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню E ,
будет
(73.5)
Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии
внешнего электрического поля согласно теории возмущений, нужно решить уравнения
(68.10), которые в нашем случае имеют вид
(73.6)
(73.7)
Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно,
(73.8)
в силу нечетности подыинтегральной функции относительно z,
равны нулю. Интеграл же (73.8) легко вычисляется в сферических координатах. На
основании (73.3) и (73.4) имеем
Имеем
Вводя переменную = r/a, получаем окончательно
(73.8')
Напишем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде. на основании сказанного о
матричных элементах W , получаем
(73.6')
Определитель этой системы (E)должен равняться нулю
(73.9)
Отсюда находим корни E , E , E , E , E , которые равны энергии возмущенных уровней
(73.10)
Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень расщепляется
лишь на три разных[4].
Картина этого расщепления приведена на рис. 54.
В результате вместо одной спектральной линии, отвечающей переходу E E (переход изображен на рисунке стрелкой), мы получим три линии, отвечающие переходам:
Это и есть явление расщепления спектральных линий в электрическом поле.
(Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщепление первой линии
ультрафиолетовой серии Лаймана, на самом деле Штарк изучал расщепление серии
Бальмера (видимый свет).
Из (73.10) и (73.8') следует, что разница E в уровнях энергии E и E равна , т.е. E , если дано в в/см. Расщепление маленькое, даже для . в/см, эв, а разность эв.
Вычислим теперь волновые функции j в нулевом приближении, относящиеся к уровням E , E , E и E . Для этого нужно найти амплитуды c из уравнений (73.6'). Подставляя в (73.6') E = E = E = E , находим, что c и c = 0, а c = c = 0. Следовательно, для несмещенных уровней наиболее общее состояния описывается функцией
(73.11)
c и c произвольны (вырождение не снято).
Подставляя в (73.6') E = E = E + W
, получаем c
= c = 0, c = c . Поэтому уровню E отвечает
волновая функция
(73.12)
Подобным же путем вычисляем для E = E : c = c = 0 и c = ¾ c , и волновая функция имеет вид
(73.12')
(Множитель взят из соображений нормировки j и j к единице).
Таким образом, при наличии поля волновые функции стационарных состоянии[5] будут j , j и j = j , j = j . Мы
представляет читателю самому убедиться, что, как и должно быть по общей теории,
матрица возмущения W в новом представлении
(73.13)
будет диагональной матрицей
(73.14)
Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней мы можем пояснить
еще и так: уровни E и E не смещаются потому, что в состояниях j и j электрический
момент равен нулю. Смещения же уровней E и E определяются тем, что в состояниях j и j момент
равен 3ae и ¾3ae
соответственно, т.е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором
случае ¾ по полю.
[1] В случае электрического поля можно достигнуть полей, сравнимых с внутриавтомными.
[2] Название "вековое уравнение" заимствовано из астрономии.
[3] Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель (68.18) по обычному правилу раскрытия: произведение элементов на миноры.
[4] Без поля мы имели гамильтониан, обладающий сферической симметрией. При наличии поля еще остается симметрия вращения вокруг направления поля.
[5] Точнее "почти стационарных".
