(67.7)
где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Пренебрегая этими членами, получим
уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом
уравнение номера m = k получается в виде
(67.7')
Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
(67.8)
Из уравнений с m = k найдем c :
(67.9)
Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем
(67.10)
(67.11)
Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения
(67.12)
при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и
собственные значения Е оператора H и его
собственные функции с (k) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н
. Условия (67.12) ¾ это условие
применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть
записано также в виде
(67.13)
где W суть матричные элементы оператора возмущения.
Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:
(67.14)
(67.15)
Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении
равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (j ).
Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой
При малых n эта величина может быть гораздо больше W
. Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n ,
и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории
возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и
непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это
обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к
конкретным проблемам.
Второе, что следует отметить, ¾ это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем H и H радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = lx . Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
(67.16)
При l=0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = (n + ). Матричные элементы возмущения
W
= l (x )
при малом l могут быть как угодно малы в сравнении с E
¾ E = (m ¾ n). Тем не менее при всяком l уравнение
(67.16) имеет непрерывный спектр, и только при l=0 оно имеет дискретный спектр собственных значений.
Действительно, потенциальная энергия U(x) = + lx
имеет вид, приведенный на
рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных x, U(x)
< E, т.е. асимптотическое значение потенциальной энергии
меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.
Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае
приближенные функции j (x)
и уровни Е , которые
мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения,
пользуясь малостью параметра l?
Оказывается, что при малых l найденные методом теории возмущения функции
j (х) отличаются тем, что они велики
вблизи потенциальной ямы U (x) и малы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U
(x) (см.
рис. 1) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции j (x) . Рис. 51, а соответствует случаю, когда E
= E E . Если же энергия E не равна E , то волновая функция j (x) нарастает вдали от потенциальной ямы U
(x) (см.
рис.51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся
около положения равновесия x = 0, так сказать, "в атоме", а во втором случае они находятся
преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний может
получиться лишь в том случае, если существуют волны, как уходящие в
бесконечность, так и приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность,
окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чаще
приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны. Тогда
стационарных состояние не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь
уходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции j (x) описывают поведение частиц лишь в течение не очень большого времени
t. Однако на самом деле это время может быть очень
велико, и оно тем больше, чем меньше значение параметра l. Такого рода состояния j (x) и соответствующие им уровни Е мы будет называть квазистационарными.
Возмущение при наличии вырождения
В большинстве важных в приложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущенной системе (H ) собственному значению E = E принадлежит не одно состояние j , а несколько j , j …, j …., j . Если теперь действует некоторое возмущение W, то без специального исследования нельзя сказать, какая из функций j будет являться нулевым приближением к собственным функциям оператора H = Y + W. В самом деле, вместо ряда функций j …, j …., j , принадлежащих собственному значению E , могут быть взяты функции j , j …, j …., j , получающиеся из первых линейным ортогональным преобразованием:
(68.1)
(68.2)
Функции j , будучи линейными комбинациями функций j , будут также решением уравнения Шредингера
(68.3)
принадлежащим собственному значению E , и при добавочном условии (68.2) будут
ортогональными, если функции j ортогональны. Функции
j суть поэтому также возможные функции
нулевого приближения, но неизвестно, какие коэффициенты a следует
взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.
Для решения этого вопроса обратимся к уравнению (66.9). Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере два индекса (n, a). Поэтому в этом случае (66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс n на два: n, a. Тогда мы получим
(68.4)
Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя n на n, a, m на m, b) в виде
(68.5)
где
(68.6)
есть матричный элемент энергии возмущения и получается из (66.7) увеличением
числа квантовых чисел, нумерующих состояния. E есть энергия m-го
квантового уровня для невозмущенной задачи. Эта энергия от квантового числа a не зависит (вырождение).
Допустим, что мы теперь желаем найти квантовый уровень возмущенной системы E , близкий к E , и соответствующие собственный функции j (x). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.
В отсутствии вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении c = 1, а остальные равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближении возмущение W, мы получим из (68.5)
это дает c =
0 для E = E , но при это не одно c ,
а все принадлежащие собственному значению E , именно, c для b = 1, 2, …, . Таким образом, в нулевом приближении
не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым
приближением для функций k-го уровня будет
(68.7)
В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат не
равные нулю c . Это будут уравнения
