(68.8)
Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к k-му
уровню, мы можем опустить индекс k (держа его просто в уме), положив при
этом
(68.9)
(68.9')
Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде
(68.10)
У E мы сохранили индекс k,
чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из f состояния,
принадлежащих уровню E .
Для того чтобы уравнения (68.10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обращался в нуль, т.е.
Это ¾ алгебраическое уравнение степени f для
определения Е. Часто оно называется вековым[2] уравнением. Из него мы получим f корней:
(68.12)
Так как матричные элементы W предполагаются малыми, то эти корни будут
близки между собой. Следовательно, мы получает важный результат: при
наложении возмущения вырожденный уровень (E ) распадается
на ряд близких уровней
(68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то
вырождение снимается лишь частью.
Для каждого из корней E (68.12) мы получим свое решение для амплитуд c из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение c , c , …, c . …, c принадлежит уровню E , мы введем в c еще один индекс a так, что решение уравнений (68.10) для E запишется в виде
(68.13)
Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для c была
бы c . Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом
приближении) волновая функция оператора Н в "Е° "-представлении. В "х"-представлении
решение (68.13) запишется в виде
(68.13')
Таким образом, каждому уровню E = E принадлежит теперь своя функция j , которая и является функцией нулевого
приближения для возмущенной системы (H).
Отличие функций (68.13') от функций (68.1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты a произвольны (вплоть до условия ортогональности (68.2)), а коэффициенты c в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения j представляют собой частный случай функций невозмущенной задачи j . Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.13), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид
(68.14)
В #41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора L, заданного в матричной форме, сводится к решению уравнение (41.4) и (41.5). Понимания в (41.4) под оператором L оператор полной энергии H, мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого из индексов n и m в этой формуле теперь фигурирует по два индекса n, a, и m, b соответственно. В результате из (41.4) получаем уравнения
(68.15)
которые совпадают с (68.5), так как
(68.16)
Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется
несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрица оператора Н
нумеруются двумя квантовыми числами n и a.
Именно, при каждом n имеется f разных
значений a (f
-кратное вырождение). Число f возрастает с увеличением n. Для первого уровня
f = 1 термин "вырождение" не применяется.
Расположить элементы H в матрицу не
представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (1), а
следующие столбцы номерами (n, 2), (n, 3), …, (n, f
) затем пойдет столбцы с
номерами (n +
1, 1) (n + 1, 2), …, до (n + 1, f )и т.д. Подобным же образом нумеруем
строки (m, 1), (m, 2),…, (m, f
) и т.д. При такой же нумерации элементов матрицы
H уравнение для определения собственных
значений E может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для
нашего случая):
Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же
квантовому уровню. Так, например, в первом прямоугольнике (один элемент) ¾ к уровню k
= 1, во втором к уровню k = 2, в
третьем ¾ к k-му уровню. Если мы пренебрежем матричными
элементами, относящимися к различным уровням, т.е. элементами типа H
(m = n) (эти элементы, согласно (68.16), равны W
), то уравнение (68.17) упростится и примет вид.
Такую матрицу называют ступенчатой.
Ее определитель (E) разбивается на произведение определителей
меньшего ранга, именно [3],
Обозначая входящие сюда определители через (E),
получим
(68.20)
Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если (E) =
0, или (E) = 0, или вообще (E) =
0. Корни этих уравнений и дают в первом приближении энергии первого, второго и
вообще k-го уровня. Уравнение
(68.12)
тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем.
В #41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)).
Расщепление уровней в случае двукратного вырождения
Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению E оператора H принадлежат две функции (f = 2): j и j . Любые две функции j и j, получающиеся из j и j и путем ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора H , принадлежащими уровню E . Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1))
(69.1)
(69.1')
Чтобы удовлетворить условию ортогональности (68.2), положим
(69.2)
причем q и b здесь два
произвольных угла. Таким образом,
(69.3)
представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих
двукратно вырожденному уровню E .
Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, коэффициенты a (69.2) удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При b = q = 0 из (69.3) получаются исходные функции j и j . Пусть теперь наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущенной системы, т.е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов b и q будут зависеть от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты c и c в суперпозиции
(69.4)
Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения
(68.10), которое в рассмотренном частном случае имеет вид
(69.5)
где W , W , W , W
¾ матричные элементы энергии возмущения:
(69.6)
(69.6')
(69.6'')
Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид
(69.7)
где e ¾
поправка в энергии k-го уровня:
(69.8)
Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня
(69.9)
Из уравнений (69.5) находим
(69.10)
Полагая
(69.11)
и подставляя в (69.10) первый корень (e , знак
+), получим
