Решение обратной задачи вихретокового контроля
9. Результаты численного моделирования
9.1 Аппроксимации при численном моделировании
Для построения моделей реальных распределений ЭП возможно применение целого ряда аппроксимаций. Все они могут быть разделены на два класса.
1. Аппроксимации, строящиеся по набору из произвольного числа узлов. Наиболее распространенные из них: кусочно-постоянная, кусочно-линейная и сплайном. В условиях нашей задачи указанные аппроксимации имеют несколько существенных недостатков:
· Результаты аппроксимаций слабо согласуются с реальностью. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная аппроксимации принципиально являются негладкими, а аппроксимация сплайном сглаживает все, в результате чего возникают значительные немонотонности и всплески.
· При увеличении количества узлов аппроксимации быстро нарастает неустойчивость процесса решения обратной задачи, для противодействия которой требуется применение искусственных приемов, не гарантирующих успеха.
· В реальных условиях мы не имеем достоверной априорной информации о величине ЭП в узлах аппроксимации, расположенных в глубине пластины.
2. Аппроксимации, строящиеся по значениям ЭП на верхней и нижней поверхностях пластины и нескольким параметрам аппроксимации. Наиболее известные из них: экспоненциальная, гиперболическим тангенсом и гауссоидой. Аппроксимации имеют вид:
- аппроксимация экспоненциальная
- аппроксимация гиперболическим тангенсом
- аппроксимация гауссоидой
где
x
- координата, равна нулю на нижней поверхности пластины и единице на верхней
s1
- величина электропроводности на верхней поверхности пластины
s2
- величина электропроводности на нижней поверхности пластины
a
- коэффициент, характеризующий крутизну экспоненты
b
- коэффициент
g
- коэффициент, характеризующий крутизну; g=0 соответствует случаю слоя с проводимостью s1 и толщиной b на полупространстве с проводимостью s2
d
- коэффициент, характеризующий крутизну
Для нашей задачи подобные аппроксимации являются предпочтительными, поскольку обладают заметными достоинствами:
· Аппроксимации являются монотонными и гладкими, что хорошо согласуется с физической реальностью.
· Пользуясь физически обоснованными рассуждениями мы можем получить необходимую априорную информацию о величинах ЭП в приповерхностных слоях пластины.
· Процесс решения обратной задачи существенно более устойчив и осуществляется значительно быстрее
Для иллюстрации наших рассуждений приведем пример применения приведенных выше аппроксимаций к случаю восстановления кусочно-линейной функции. По оси абсцисс отложена относительная глубина, по оси ординат электропроводность (МСм/м).
На графике показаны аппроксимации: кусочно постоянная(SIci),кусочно линейная(SIli), сплайн(SIs), экспоненциальная(SIe), гиперболическим тангенсом (Sith), гауссоидой(SIg).
Легко заметить, что аппроксимация гиперболическим тангенсом хорошо описывает приповерхностные изменения (аналогично экспоненциальной при большом показателе экспоненты). Гауссоида может быть легко воспроизведена с помощью экспоненциальной аппроксимации, поэтому в дальнейшем использована не будет.
9.2 Модели реальных распределений электропроводности
Модель задачи должна описывать некоторую пластину, подвергнутую поверхностной обработке. Для определенности зададим толщину пластины равной двум сантиметрам. На основе данных из Приложения 2 зададим значения ЭП вблизи нижней и верхней поверхностей соответственно 20 (МСм/м) и 13 (МСм/м).
Для решения обратной задачи необходимо задать априорную информацию о величине ЭП в узлах аппроксимации. В качестве таковой примем интервал [8,25] (МСм/м), полученный внесением 25% отклонения от считаемых истинными значений. Это отклонение моделирует неточность априорной информации.
Из-за особенностей реализации алгоритма устойчивость решения сильно зависит от точности задания ЭП в узле, соответствующем нижней поверхности пластины, поэтому ограничение в нем зададим интервалом [19,21] (МСм/м).
В нашем случае все возможные модели распределений ЭП могут быть разделены на два класса. Распределения относящиеся к первому из них условно назовем глубинными. В них ЭП претерпевает существенные изменения на протяжении всей глубины пластины. Второй класс образуют распределения, ЭП в которых заметно изменяется лишь в приповерхностном слое глубиной порядка четверти пластины., поэтому назовем эти распределения поверхностными.
Критерием отличия восстановленной функции распределения ЭП от модельной будем считать величину относительной погрешности, поскольку сравнение результатов с ее помощью вполне адекватно целям нашей работы.
Следует отметит, что погрешность восстановления для поверхностных распределений ЭП представляет практический интерес в области, примерно ограниченной глубиной порядка четверти пластины, что обусловлено физическим смыслом поверхностной обработки. Поэтому для случаев поверхностных распределений основное внимание будем уделят именно указанным глубинам.
Для проверки возможности восстановления приповерхностных изменений ЭП рассмотрим две базовые модели поверхностных распределений.
Базовая модель A1.
Аппроксимация экспонентой.
Проводимость s2=20 [МСм/м]
Проводимость s1=13 [МСм/м]
Показатель экспоненты a ={ 25, 38, 120, 200 }.
Базовая модель A2
Аппроксимация гиперболическим тангенсом.
Проводимость s2=20 [МСм/м]
Проводимость s1= 6 [МСм/м]
Коэффициент b = 1
Коэффициент g = { 0.1, 0.05, 0.02, 0.01 }
Для проверки возможности восстановления глубинных распределений ЭП рассмотрим две базовые модели глубинных распределений.
Базовая модель B1
Аппроксимация кусочно-линейная.
Проводимость задается в узлах с отсчитываемой от дна пластины относительной глубиной { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }.
Узловые значения проводимости { 20, 20, 17.6, 15.3, 13 }, {20, 20, 20, 16.5, 13 }, {20,20,20,20,13} [МСм/м].
Базовая модель B2
Аппроксимация сплайном.
Проводимость задается в узлах с отсчитываемой от дна пластины относительной глубиной { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }.
Узловые значения проводимости { 20, 20, 17.6, 15.3, 13 }, {20, 20, 20, 16.5, 13 }, {20,20,20,20,13} [МСм/м].
Заметим, что на практике можно осуществить достаточно точное определение величины ЭП приповерхностных слоев путем измерений проводимости традиционными средствами, поэтому дополнительно рассмотрим модельные задачи при условии известной ЭП на верхней, а так же верхней и нижней поверхностях.
Поскольку на практике результаты измерений вносимого напряжения имеют определенную погрешность, все модели будем рассчитывать эмулируя погрешность dU= 0,1,2,5%.
Для исследования зависимости результатов восстановления распределений ЭП от частоты возбуждения разобьем частотный диапазона три части следующим образом( глубины проникновения приведены для случая постоянной ЭП s=13 МСм/м ):
Модели
FA1L, FB1L
Модели
FA1M, FB1M
Модели
FA1H, FB1H
f , [Гц]
h , [m]
f , [КГц]
h , [m]
f , [КГц]
h , [m]
1
0.1396
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
